増えながら減る、という状態
水そうに最初から水が入っています。
上から毎分同じ量ずつ水が流れ込み、下の排水口からは毎分同じ量ずつ水が出ていきます。
時間が経つにつれて、水そうの中の水の量は変わっていきます。でも、毎分入ってくる水の量と、排水口1つが毎分出す水の量はずっと一定のままです。
この「増えながら減る」状況のもとで、排水口をいくつ開ければ何分で空になるかを考えるのが、ニュートン算（増えながら減る状況を扱う文章題）です。線分図で整理してみます。
片づける量が時間とともにふえる
排水口を4つ開けて、5分で水そうが空になったとします。
このとき排水口が出した水の合計は、「最初から入っていた水」と「5分のあいだに増えた水」を合わせた量です。
上の帯が「最初の水 ＋ 5分で増えた水」、下の帯が「排水口4つが5分で出した水」です。両端がそろっているのは、この2つが同じ量だからです。
排水口が水を出しているあいだにも、上から水が入り続けています。出しているそばから片づける量がふえていくので、この情報だけでは「最初の水」も「毎分増える水」も分かりません。
2つの場合を並べて、差から求める
そこで、もう1つの場合を加えます。「排水口を2つ開けたら15分で空になった」としましょう。
ここで、排水口1つが1分間に出す水の量を①と置きます。実際に何リットルかは分からなくても、すべてを①の何個ぶんかで表せるので、そのまま計算を進められます。
- 排水口4つ × 5分 ＝ ① × 4 × 5 ＝ ⑳
- 排水口2つ × 15分 ＝ ① × 2 × 15 ＝ ㉚
どちらの場合も、出した水の合計は「最初の水 ＋ その時間で増えた水」と等しくなります。
2本の帯を上下に並べると、左側の「最初の水」と「5分で増えた水」までは上下で同じ長さです。
下の帯だけ右にはみ出していますが、これは排水口2つの場合のほうが10分長く水が入り続けたためです。はみ出した部分が「10分で増えた水量」にあたります。
丸数字の差を出してみます。
㉚ − ⑳ ＝ ⑩
⑩が10分ぶんの増えた水なので、1分あたり ⑩ ÷ 10 ＝ ① ずつ増えていることが分かります。
毎分①ずつ増えるなら、5分で増えた水は ① × 5 ＝ ⑤ です。
上の帯（⑳）から5分で増えた水（⑤）を引けば、最初の水が出ます。
最初の水 ＝ ⑳ − ⑤ ＝ ⑮
では、排水口6つなら何分で空になるでしょうか。
排水口6つだと毎分⑥ずつ出ていき、毎分①ずつ増えるので、水そうの中の水は差し引きで毎分 ⑥ − ① ＝ ⑤ ずつ減っていきます。
最初の水が⑮なので、⑮ ÷ ⑤ ＝ 3分で空になります。
ポイント
ニュートン算を線分図で解く手順
- 排水口1つが1分間に出す水の量を①と置いて、それぞれの合計を丸数字で出します。
- 2つの場合を線分図で上下に並べると、はみ出した部分が「時間の差ぶんの増えた水」になります。
- そこから毎分の増え方が分かり、最初の水も求められます。
練習問題
【練習問題】①
水そうに最初から水が入っていて、毎分同じ量ずつ水が入ってきます。排水口はすべて同じ速さで水を出します。排水口を5つ開けると5分で空になり、排水口を3つ開けると10分で空になります。排水口を6つ開けると、何分で空になりますか。
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答え：4分です。
排水口1つが1分間に出す水の量を①とします。
排水口5つ × 5分 ＝ ㉕、排水口3つ × 10分 ＝ ㉚ です。
線分図を上下に並べると、はみ出した部分は ㉚ − ㉕ ＝ ⑤ です。時間の差は 10 − 5 ＝ 5分なので、毎分 ⑤ ÷ 5 ＝ ① ずつ増えています。
5分で増えた水は ① × 5 ＝ ⑤、最初の水は ㉕ − ⑤ ＝ ⑳ です。
排水口6つだと毎分 ⑥ − ① ＝ ⑤ ずつ減るので、⑳ ÷ ⑤ ＝ 4分で空になります。
【練習問題】②
水そうに最初から水が入っていて、毎分同じ量ずつ水が入ってきます。排水口はすべて同じ速さで水を出します。排水口を6つ開けると5分で空になり、排水口を4つ開けると10分で空になります。この水そうを4分で空にするには、排水口を何個開ければよいですか。
タップで答えを見る
答え：7個です。
排水口1つが1分間に出す水の量を①とします。
排水口6つ × 5分 ＝ ㉚、排水口4つ × 10分 ＝ ㊵ です。
はみ出した部分は ㊵ − ㉚ ＝ ⑩、時間の差は 10 − 5 ＝ 5分なので、毎分 ⑩ ÷ 5 ＝ ② ずつ増えています。
5分で増えた水は ② × 5 ＝ ⑩、最初の水は ㉚ − ⑩ ＝ ⑳ です。
4分で空にする場合、4分で増える水は ② × 4 ＝ ⑧ なので、出す必要のある水の合計は ⑳ ＋ ⑧ ＝ ㉘ です。
排水口1つが4分で出す水は ① × 4 ＝ ④ なので、㉘ ÷ ④ ＝ 7個の排水口が必要です。
まとめ
ニュートン算は、増えながら減るという状況が独特で、初めて見ると戸惑いやすい問題です。
でもやっていることは、和差算や倍数算と同じで、2つの場合を線分図に描いて上下に並べ、差から手がかりを引き出す流れです。
排水口1つが1分に出す水の量を①と置けば、すべてが丸数字で表せます。①が実際に何リットルかは分からなくても、差をとって時間で割れば毎分の増え方が出て、そこから最初の水も求まります。
最初に見た水そうの図は、増えながら減るという状況をつかむための図でした。計算で解くときは、線分図に丸数字を置いて比べるほうが手を動かしやすくなります。