水そうの中に台を入れて、水を注いでみる
水そうの中に、四角い台がひとつ入っています。
この水そうに、毎分1200cm³ずつ水を入れていきます。入れる速さは、最初から最後まで変えません。
ところが、水面が上がる速さのほうは途中で変わります。時間と深さをグラフにすると、その変わり目が折れ目になって現れます。
同じ量ずつ入れているのに、なぜ上がり方が変わるのでしょうか。水そうの底で起きていることを見ていきます。
時間と深さをグラフにすると、途中で折れる
横に時間、たてに水の深さをとって、グラフにしてみます。
はじめの2分で、深さは12cmまで上がっています。
そのあとは11分で30cmなので、9分かけて18cm上がったことになります。
前半は短い時間でぐんと上がり、後半はゆっくりです。1本の直線にはならず、2分のところで折れ曲がっています。
変わっていないもの、変わっているもの
このグラフで、変わっていないものがあります。
1分あたりに入る水の量です。前半も後半も毎分1200cm³で、じゃ口はいじっていません。
変わっているのは、水面が上がる速さのほうです。前半は1分に6cm、後半は1分に2cmしか上がっていません。
同じ量の水を入れているのに、水面の上がり方だけが変わっています。この差がどこから出てくるのかを、水そうの中で確かめます。
折れ目ができるのは、底面積が変わるところ
台の高さまでは、水の入る場所がせまい
まず、台の高さ12cmまでの水を見てみます。
水そうの底は、たて20cm、よこ30cmです。たて×よこで面積を出すと、20×30で600cm²になります。
ただ、この600cm²すべてに水が入るわけではありません。台がのっている20×20＝400cm²の部分は、水の入る場所ではないからです。
残りは600－400で200cm²。台の高さまでのあいだ、水はこの200cm²の上だけにたまっていきます。
この記事では、その深さで水が実際に広がっている面の広さを「水の入る部分の底面積」と呼びます。台の高さまでは、それが200cm²です。
1分に入る水は1200cm³なので、1200÷200＝6となり、水面は1分に6cm上がります。
12cmまで上がるのにかかる時間は、12÷6で2分。グラフの折れ目の位置と同じです。
台をこえると、水は広い面に広がる
水面が12cmになると、台の上面と同じ高さになります。
ここから先の水は、台の上にものっていきます。真上から見ると、水は底面全体に広がっています。
水の入る部分の底面積は、600cm²になりました。1200÷600＝2なので、水面は1分に2cmしか上がりません。
30cmまではあと18cmあるので、18÷2で9分かかります。はじめの2分とあわせて11分。これもグラフの読み取りと合っています。
深さは「入れた水の量÷底面積」で決まる
前半と後半で何がちがったのかを、数で並べてみます。
グラフに書き入れた毎分6cm・毎分2cmが、1分に上がる高さです。
水の入る部分の底面積が200cm²のとき、水面を1cm上げるのに必要な水は200cm³です。
600cm²のときは、同じ1cmでも600cm³いります。底面積×高さが体積になるので、面が広いほど、1cmぶんの水も多く必要になります。
入れる水の量が同じなら、受け止める面が広いほど、上がる高さは小さくなります。
つまり水面が上がる速さは、1分に入る水の量÷水の入る部分の底面積で決まっています。1200÷200＝6、1200÷600＝2という2つの数が、そのままグラフの2本の線の急さになっていました。
グラフの折れ目は、水の入る部分の底面積が変わった瞬間にできます。動く点が作る三角形の面積のグラフが折れるのも、途中で増え方が変わるからでした。形はちがっても、折れ目が「変わり目」を表している点は同じです。
ポイント
- 水面が上がる速さは、1分に入る水の量÷水の入る部分の底面積で決まります。
- 台があるあいだは水の入る面がせまいので、水面は速く上がります。
- 台をこえると面が広がり、上がり方はゆるやかになります。
- グラフの折れ目は、水の入る部分の底面積が変わったところにできます。
練習問題
【練習問題】①
底面積が300cm²の水そうに、毎分1500cm³の水を入れます。水面は1分に何cm上がりますか。
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答え：5cm
1500cm³の水を300cm²の面に広げるので、1500÷300＝5になります。水面は1分に5cm上がります。
【練習問題】②
この記事の水そうで、水面が12cmから30cmになるまでに何分かかりますか。
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答え：9分
台をこえたあとは、水の入る部分の底面積が600cm²になります。1200÷600＝2なので、水面は1分に2cm上がります。上がるのは30－12＝18cmなので、18÷2＝9分かかります。
【練習問題】③
下の図は、ある水そうに一定の速さで水を入れたときのグラフです。この水そうには、底に台が入っています。台の高さは何cmですか。
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答え：15cm
グラフの折れ目は、水が台をこえて、水の入る部分の底面積が広がったところにできます。
その深さは、ちょうど台の上面の高さです。折れ目が15cmのところにあるので、台の高さも15cmになります。
発展問題
ここでは、体積の考え方もあわせて使います。手数は増えますが、順番に出していけば答えにたどりつけます。
【発展問題】①
内側がたて20cm、よこ30cm、高さ30cmの水そうに、たて20cm、よこ20cm、高さ12cmの台が入っています。この水そうに毎分1200cm³の水を入れます。
(1) 台の体積は何cm³ですか。
(2) 深さ30cmまで水を入れるには、水が何cm³必要ですか。
(3) 深さ30cmになるまでに何分かかりますか。
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答え：(1) 4800cm³ (2) 13200cm³ (3) 11分
まず見るのは台の大きさです。台は直方体なので、底面積×高さで体積が出せます。台の底面積は20×20＝400cm²、高さは12cmなので、400×12＝4800cm³です。
次に水そうのほうを見ます。水そうの底面積は600cm²で高さは30cmなので、600×30＝18000cm³ぶんの場所があります。ただし、そのうち4800cm³は台がふさいでいます。水が入れるのは18000－4800＝13200cm³です。
あとは1分に1200cm³ずつなので、13200÷1200＝11分になります。
台の体積を引くのは、台のある場所には水が入れないからです。本文のグラフでも、深さ30cmになるのは11分のところでした。水の入る部分の底面積から追っても、体積から追っても、同じ答えになります。
まとめ
一定の速さで水を入れているのに、時間と深さのグラフが途中で折れるのは、水を受け止める面の広さが変わるからでした。
台の高さまでは200cm²、台をこえてからは600cm²。同じ1200cm³でも、広い面に広げるほど深さの増え方は小さくなります。
水面が上がる速さは、1分に入る水の量÷水の入る部分の底面積で決まります。この式が分かっていれば、折れ目の前後で速さがちがう理由も、その速さの値も出せます。
逆に、グラフのほうから水そうの中を読むこともできます。この水そうでは、折れ目のある深さが、中に入っている台の高さです。グラフの折れ目は、水の入る面が変わったところを表しています。