体積はなぜ底面積×高さで求められるのか
ここに直方体があります。
直方体の体積は「たて×よこ×高さ」で求められます。
このうち「たて×よこ」は、底の面の面積、つまり底面積です。
だから「たて×よこ×高さ」は「底面積×高さ」と言いかえることができます。
ここでは、なぜこの言いかえができるのか、その意味を少し掘り下げてみます。
直方体は「同じ底面」を高さ分だけ積み重ねたもの
この直方体を、高さの方向に薄く切り分けたと考えてみます。
切り分けた1枚は、底面と同じ形をした薄い板になります。
板の位置は上へずれていきますが、形と大きさはどの高さでも同じです。
底面とまったく同じ面が、上までずっと続いています。
今度は逆に、その薄い板を積み上げていくと考えてみます。
底面と同じ形の板を、下から上へ高さの分だけ重ねると、もとの直方体にもどります。
板が1枚増えるごとに、増える量はその板の底面積です。
これを高さの分だけ重ねるので、全部の量は「底面積」を「高さ」の回数だけ足したことになります。
同じ数を何回も足す計算は、かけ算で書けます。
だから体積は「底面積×高さ」になります。
底面積は「たて×よこ」で求められる面積です。
その同じ面積が、下から上まで変わらずに積み上がっている、と整理できます。
底面の形が変わっても同じルールが使える
このしくみは、直方体だけのものではありません。
底面がどんな形でも、その面が高さの分だけまっすぐ積み重なっている立体なら、同じ考え方が使えます。
たとえば底面が三角形なら三角柱、底面が円なら円柱です。
どちらも「底面を高さ分だけ積み重ねたもの」という点は、直方体と変わりません。
変わっているのは底面の形だけです。
なので三角柱も円柱も、体積は「底面積×高さ」で求められます。
底面積の求め方は形ごとに違いますが、それを高さ分だけ積み上げる部分は共通しています。
ポイント
- 直方体の「たて×よこ」は底面積なので、体積は「底面積×高さ」と言いかえられます。
- 体積は「底面と同じ面を、高さの分だけ積み重ねた量」と考えられます。
- 三角柱でも円柱でも、底面をまっすぐ積み重ねた立体なら同じ式が使えます。
表面積を考えるときは展開図を見る
立体のまわりの面積を表面積といいます。
これを求めるときは、立体を平らに開いた展開図で考えると分かりやすくなります。
円錐の場合、開いた形が少し変わっています。
円錐は、底面の円と、そこから頂点まで続く側面でできています。
頂点から底面のふちまでをまっすぐ結んだ線を、母線（ぼせん）といいます。
この側面を切って平らに開くと、円の一部を切り取ったような形になります。
これが扇形です。
ここで大事なのは、扇形の外側の曲がった辺、つまり弧の長さです。
この弧は、もともと底面の円のまわりにくっついていた部分です。
開く前と開いた後で、長さは変わりません。
だから「扇形の弧の長さ」と「底面の円周」は、ぴったり同じになります。
円錐の側面は、半径が母線の長さの扇形で、その弧の長さが底面の円周と等しい。
この対応を押さえておくと、側面積を求めるときの手がかりになります。
練習問題
【練習問題】①
たて4cm、よこ3cm、高さ5cmの直方体があります。この直方体の体積は何cm³ですか？
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答え：60cm³
底面の「たて×よこ」は 4×3＝12cm² で、これが底面積です。体積は底面積×高さなので、12×5＝60cm³ になります。
【練習問題】②
底面の半径が3cm、高さが10cmの円柱があります。この円柱の体積は何cm³ですか？（円周率は3.14とします）
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答え：282.6cm³
底面は半径3cmの円なので、底面積は 半径×半径×3.14 で 3×3×3.14＝28.26cm² です。体積は底面積×高さなので、28.26×10＝282.6cm³ になります。
【練習問題】③
底面の半径が3cmの円錐があります。側面を平らに開くと扇形になりますが、その扇形の弧の長さは何cmですか？（円周率は3.14とします）
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答え：18.84cm
側面を開いた扇形の弧は、もともと底面の円のまわりにくっついていた部分なので、その長さは底面の円周と同じになります。円周は直径×3.14で求められるので、（3×2）×3.14＝18.84cm です。扇形の弧の長さも、同じ18.84cm になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図のような立体があります。底面はたて6cm、よこ10cmの長方形で、その中に半径2cmの円の形をした穴が、上から下までまっすぐにあいています。立体の高さは5cmです。円周率は3.14とします。
(1) この立体の底面積は何cm²ですか？
(2) この立体の体積は何cm³ですか？
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答え：(1) 47.44cm² (2) 237.2cm³
(1) まず底面の形を見ます。長方形の中から円がくり抜かれた形なので、長方形の面積から円の面積をひいた残りが底面積になります。長方形の面積はたて×よこなので 6×10＝60cm²、円は半径2cmなので半径×半径×3.14で 2×2×3.14＝12.56cm² です。60－12.56＝47.44cm² が底面積になります。
(2) (1)で出した底面積を、そのまま「底面積×高さ」に当てはめます。47.44×5＝237.2cm³ です。穴は上から下まで同じ太さであいているので、どの高さで切っても切り口は(1)と同じ形のままです。積み重ねる1枚あたりの面積が47.44cm²に変わっただけなので、式はそのまま使えます。
【発展問題】②
底面の半径が3cm、頂点から底面のふちまでの長さ（母線）が9cmの円錐があります。この円錐の側面を切り開くと扇形になります。この扇形の中心角㋐は何度ですか？（円周率は3.14とします）
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答え：120°
まず、扇形の弧に目をつけます。この弧は切り開く前、底面の円のまわりにくっついていた部分なので、長さは底面の円周と同じです。底面の半径は3cmなので、円周は直径×3.14より（3×2）×3.14＝18.84cm です。
次に、この扇形がもとの円のどれだけにあたるかを考えます。扇形の半径は母線と同じ9cmなので、もとの円は半径9cmの円です。その円周は（9×2）×3.14＝56.52cm です。弧の18.84cmは、この56.52cmのちょうど3分の1にあたります。
弧の長さは円周に「中心角÷360」をかけた長さなので、弧が円周の3分の1なら、中心角も360°の3分の1になります。360÷3＝120° です。
まとめ
体積の式「底面積×高さ」は、底面と同じ面を高さの分だけ積み重ねた量を表しています。
直方体の「たて×よこ×高さ」も、「たて×よこ」を底面積と見れば同じ式です。
同じ数を高さの回数だけ足すからかけ算になる、と考えると公式の形に納得できます。
底面の形が三角形でも円でも、まっすぐ積み重なっている立体なら同じ式が使えます。
表面積では見方が変わり、立体を開いた展開図で考えます。
円錐の側面は扇形になり、その弧の長さが底面の円周と同じになる、という対応がポイントでした。
体積は「積み重ね」、表面積は「開いて平らにする」。
考え方を分けておくと、整理しやすいかもしれません。