なぜ円の面積は「半径×半径×3.14」になるの？
円の面積を求めるときは「半径 × 半径 × 3.14」という公式を使います。
でも、なぜ半径を2回かけるのでしょうか。
円を細かく切って並べ替えると、見た目の形は変わりますが、面積は変わりません。そして並べ替えたあとの形は、長方形に近づいていきます。
この長方形の「縦と横」を確かめると、公式の仕組みが見えてきます。
円を細かく切ってみよう
まずは、円を細かく切り分けます。
円の中心から線を引くことで、円をたくさんのおうぎ形に分けることができます。分けられたおうぎ形はすべて同じ大きさです。
切り分けても、パーツを全部あわせた広さは元の円のままです。並べ方を変えても、この広さは変わりません。
切ったパーツを並べ替える
次に、切り分けたおうぎ形を上下交互に並べ替えます。
すると、ギザギザしていますが、長方形のような形に近づきます。細かく切れば切るほど、この形はどんどん長方形に近づいていきます。
長方形に近い形になれば、「縦×横」という長方形の面積の考え方が使えます。
ギザギザなのに長方形といっていいの？
ここは気になるところだと思います。
上下の辺には弧のカーブが並んでいますし、左右の端も斜めに傾いています。見た目はまだ長方形ではありません。
でも、切る数を増やすと、おうぎ形1つ分はどんどん細くなります。細くなるほど弧の1つ分は短くなり、上下の辺の段差も小さくなります。
左右の端の傾きも同じで、細く切るほどまっすぐに近づきます。
8個より16個、16個より32個。数を増やすほど、長方形との差は小さくなっていきます。「切ったら長方形になる」のではなく、「いくらでも長方形に近づけられる」という考え方です。
ちなみに3.14という数も、正多角形を円に近づけていくという似た方法で、少しずつ近い値を求めていったものです。
長方形の縦と横はそれぞれ何になる？
では、この長方形のような図形の縦と横を考えてみます。
縦にあたるのは、おうぎ形のまっすぐな辺の部分です。この辺は円の中心からふちまで引いた線なので、長さは元の円の「半径」になります。
細かく切るほど、この辺は縦にまっすぐ立つようになり、縦の長さは半径にぴったり近づいていきます。
横にあたるのは、上に並んだ弧をつなげた長さです。
おうぎ形は上下交互に並んでいるので、弧は上側と下側に半分ずつ振り分けられます。上側に並ぶ弧をすべてつなげると、元の円周のちょうど半分になります。
円周は「直径 × 3.14」で求められます。直径は「半径2つ分」なので「半径 × 2 × 3.14」と書き直せます。その半分が横の長さなので、「半径 × 3.14」になります。
なぜ半径を2回かけるの？
長方形の面積は「縦 × 横」で求めます。
縦 ＝ 半径、横 ＝ 半径 × 3.14なので、
半径 × （半径 × 3.14）＝ 半径 × 半径 × 3.14
半径を2回かけるのは、この「縦と横」の関係から来ています。1つ目の半径は縦から、2つ目の半径は横から出てきた、という見方ができます。
半径10cmの円で確かめてみる
実際に数を入れて確かめます。
半径10cmの円を切って並べ替えると、縦は10cm、横は 10 × 3.14 ＝ 31.4 で31.4cmです。
長方形の面積は 10 × 31.4 ＝ 314 なので、314cm²になります。
公式のほうで計算すると 10 × 10 × 3.14 ＝ 314。こちらも314cm²で、同じ答えになりました。
直径を2回かけるとどうなる？
円の問題では、半径と直径を取りちがえやすいところがあります。
半径10cmの円で、うっかり直径の20cmを使うと 20 × 20 × 3.14 ＝ 1256。答えは1256cm²になり、正しい314cm²の4倍にふくらみます。
縦と横で考えると、ずれた理由がはっきりします。直径を使うということは、縦も横も2倍の長さで計算していることになるので、面積は 2 × 2 で4倍になります。
長方形の縦にあたるのは、あくまで中心からふちまでの半径です。円周を出すときは直径、面積を出すときは半径、と分けて見ておくと迷いにくくなります。
ポイント
この縦 × 横が「半径 × 半径 × 3.14」という公式の正体です。
細かく切るほど、縦は半径に、横は円周の半分に近づきます。
面積で使うのは半径です。直径で計算すると、答えが4倍になります。
練習問題
【練習問題】①
半径が6cmの円の面積は何cm²ですか。円周率は3.14とします。
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答え：113.04cm²
円の面積は、半径を2回かけて3.14をかけます。6×6×3.14＝113.04なので、113.04cm²になります。
【練習問題】②
直径が16cmの円の面積は何cm²ですか。円周率は3.14とします。
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答え：200.96cm²
面積で使うのは半径なので、まず直径16cmを半分にして、半径8cmにします。8×8×3.14＝200.96なので、200.96cm²になります。
【練習問題】③
ある円の面積は78.5cm²でした。この円の半径は何cmですか。円周率は3.14とします。
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答え：5cm
面積は「半径×半径×3.14」で出したものなので、78.5を3.14でわると「半径×半径」の部分だけが残ります。78.5÷3.14＝25です。2回かけて25になる数は5なので、半径は5cmになります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】④
下の図のように、中心が同じ2つの円があります。点Oは2つの円の中心で、OPは外側の円の半径です。OPの長さは10cm、内側の円のまわりの長さは37.68cmです。円周率は3.14とします。
(1) 内側の円の半径は何cmですか。
(2) 色のついた部分の面積は何cm²ですか。
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答え：(1) 6cm (2) 200.96cm²
(1) 手がかりは、内側の円について分かっている「まわりの長さ37.68cm」です。円のまわりの長さは「直径×3.14」で求めたものなので、37.68を3.14でわると直径にもどります。37.68÷3.14＝12で、直径は12cmです。半径は直径の半分なので、12÷2＝6となり、内側の円の半径は6cmです。
(2) 色のついた部分は、外側の円から内側の円をくりぬいた残りです。外側の円の面積は 10×10×3.14＝314cm²、内側の円の面積は 6×6×3.14＝113.04cm² です。314－113.04＝200.96 なので、200.96cm²になります。
引き算でよいのは、内側の円と色のついた部分を合わせると、ちょうど外側の円になるからです。全体から一部を取りのぞいた残り、という形になっています。
まとめ
円を細かく切って並べ替えると長方形のような形になり、縦が「半径」、横が「半径×3.14」に対応します。この縦×横が「半径×半径×3.14」という公式の正体です。
半径を2回かけるのは、縦からも横からも半径が出てくるからでした。
半径10cmなら 10 × 10 × 3.14 ＝ 314 で、面積は314cm²です。直径を使うと4倍になってしまうので、面積のときは半径、と見ておくと安心です。
円まるごとの面積が出せるようになると、円の一部を切り取ったおうぎ形の面積も、この面積に割合をかけるだけで求められます。