なぜ円周率は3.14なのか？正多角形から考える円の仕組み｜小学生の算数【図形】

円周率が「3.14」なのはなぜ？

円のまわりの長さを「円周」といいます。直径10cmの円なら、円周は「10 × 3.14 ＝ 31.4cm」になります。

ところで、この「3.14」という数はどこから来たのでしょうか。「3」でも「4」でもなく、なぜ「3.14」なのか。

実はこの数、昔の人が図形を使って地道に追い詰めていった数だったんです。

円のまわりは定規で測れない

四角形であれば、辺がすべて直線なので定規をあてれば長さを測れます。

ところが円は、外側がすべて曲線です。定規をあてても、曲線にぴったり沿わせることができません。

そこで昔の人が考えたのが、「直線だけでできた図形を円に近づけていく」という方法です。

円の内側に正六角形を入れてみる

まず、円の内側に正六角形を入れてみます。

中心からそれぞれの頂点に線を引くと、正六角形は6つの三角形に分かれます。中心から各頂点までの長さはすべて半径で等しく、360°を頂点の数（6つ）で等分するので、中心角は 360 ÷ 6 ＝ 60°です。頂角が60°の二等辺三角形、つまり正三角形になります。

そのため、正六角形の1辺の長さ＝半径と確定できます。

このとき、正六角形の周の長さを直径で割ってみると、

正六角形の周 ÷ 直径 ＝ 3.000

になります。円周率に近い数が出てきました。

ただし、正六角形の周の長さは円周より少し短くなります。辺が直線のため、円の曲線を完全にはなぞれないからです。では、頂点の数を増やしたらどうなるでしょうか。

頂点を増やすほど、円に近づく

正12角形にしてみます。

正六角形よりも、円の形に近づいてきました。周の長さを直径で割ると、正12角形の周 ÷ 直径 ≈ 3.106（この計算には、小学校の範囲を超えた知識が必要になります）

さらに正24角形にしてみます。

ここまでくると、円とほとんど重なって見えます。

正24角形の周 ÷ 直径 ≈ 3.133（同じく、小学校の範囲を超えた計算になります）

正六角形の3.000から、3.106、3.133と、3.14に近づいてきているのが分かります。頂点の数を増やせば増やすほど、多角形の周の長さは円周に近づいていきます。

外側からも囲ってみる

ただ、内側から近づけるだけでは「円周がどのくらいの大きさなのか」の上限がわかりません。

そこで、円の外側にも多角形を作ります。

外側の多角形は円全体を囲んでいるため、周の長さは必ず円周より長くなります。

つまり、

• 内側の多角形の周 ÷ 直径 → 円周率より小さい
• 外側の多角形の周 ÷ 直径 → 円周率より大きい

という関係になります。頂点を増やすにつれて、この「小さい側」と「大きい側」の差が縮まっていきます。こうして「この値より大きく、あの値より小さい」という形で範囲を少しずつ絞り込み、円周率の値を追い詰めていったのです。

アルキメデスは正96角形まで使った

古代ギリシャの数学者アルキメデスは、実際にこの方法で円周率を求めています。

正多角形の辺の数を 6 → 12 → 24 → 48 → 96 と2倍ずつ増やしながら計算を重ね、

「円周率は3.1408より大きく、3.1429より小さい」

という結論を出しました。コンピューターも電卓もない時代の話です。計算の地道さを想像すると、少し気が遠くなります。

まとめ

「3.14」という数は、誰かが決めたものでも、偶然見つかったものでもありません。

内側と外側から多角形で円周を挟み込み、少しずつ値を絞り込んでいった結果として出てきた数です。

本当の円周率は「3.1415926535…」と限りなく続きます。小学校では「3.14」と丸めて使っていますが、その裏には昔の人たちの地道な計算の積み重ねがあったわけです。