三角形にはいろいろな形がありますが、辺の長さや角の大きさに特別な関係を持っているものがあります。
そういう三角形の特徴を知っておくと、図形の問題で見つけたときに一気に手がかりが増えます。
この記事では、問題でよく出てくる「知っておくと役立つ三角形」を5つ整理してみました。
二等辺三角形
定義
2つの辺の長さが等しい三角形です。
性質
等しい辺の向かい側にある2つの角（底角）が等しくなります。
角㋐ = 角㋑
この2つが等しくなるのは、二等辺三角形に1本線を引くと見えてきます。
頂角の頂点から底辺に垂直な線を下ろすと、その線は底辺をちょうど二等分します。
底辺が同じ長さの2つに分かれるので、真ん中の位置がすぐに分かります。
ポイント
・2つの辺の長さがわからなくても、底角が等しいことがわかれば二等辺三角形だと判断できます。
正三角形
定義
3つの辺の長さがすべて等しい三角形です。
3つの辺すべてに同じ印がついています。
2つの辺が等しければ二等辺三角形なので、正三角形は二等辺三角形の仲間でもあります。
性質
3つの角の大きさがすべて等しく、どれも60°です。
三角形の3つの角を足すと180°になるので、それを3等分した大きさです。
ポイント
・3つの辺の長さがわからなくても、2つの角が60°だとわかれば、残りの1つも60°になるので正三角形です。
・正三角形を半分に割ると、30°60°90°の三角形が出てきます。
30°60°90°の三角形
定義
角の大きさが30°、60°、90°になっている直角三角形です。
性質
一番長い辺（斜辺）と一番短い辺の長さの比は、必ず②：①になります。
ポイント
・正三角形を半分に割ると出てくる三角形です。斜辺は元の正三角形の1辺、一番短い辺はその1辺を半分にした長さになるので、②：①の比が出てきます。
・三角定規の細い方がこの三角形で、いちばん短い辺が斜辺の半分になるのもこの関係からです。
直角三角形
定義
1つの角が90°（直角）になっている三角形です。
長方形を対角線で半分に割った形ともいえます。
性質
三角形の内角の合計は180°なので、1つの角で90°を使っている分、残りの2つの角を足すと必ず90°になります。
角㋐ + 角㋑ = 90°
ポイント
・同じ直角三角形をもう1つ用意して、直角が向かい合うように斜辺どうしを合わせると長方形ができあがります。
・かどに集まるのは㋐と㋑で、足すと90°になります。だから4つのかどがすべて直角になります。
直角二等辺三角形
定義
1つの角が90°（直角）で、その両脇の辺の長さが等しい三角形です。
性質
二等辺三角形なので底角は等しく、直角以外の2つの角はどちらも必ず45°になります。
残りの2つを足すと90°で、その90°が等しく分かれるので、90 ÷ 2 で45°です。
正方形を半分に切ると、この形が出てきます。
ポイント
・同じ大きさの直角二等辺三角形をもう1つ用意して、斜辺どうしを合わせると正方形ができあがります。
練習問題
【練習問題】①
二等辺三角形があります。頂角が40°のとき、角㋐は何度ですか？
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答え：70°
三角形の内角の和は180°なので、底角2つの合計は 180° − 40° = 140°です。
二等辺三角形の底角は等しいので、140° ÷ 2 = 70°になります。
【練習問題】②
30°60°90°の三角形があります。一番短い辺の長さが5cmのとき、斜辺㋐は何cmですか？
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答え：10cm
30°60°90°の三角形では、斜辺と一番短い辺の長さの比が必ず②：①になります。
一番短い辺が5cmなので、斜辺は 5 × 2 = 10cmです。
発展問題
ここでは記事に出てきた三角形に加えて、正方形の性質も使います。1つの図の中で角を順にたどっていく形なので、答えが出るまでに何段か手数がかかります。
【発展問題】①
下の図は、正方形ABCDの中に、辺ABを1辺とする正三角形ABEをかいたものです。
(1) 角㋐は何度ですか？
(2) 角㋑は何度ですか？
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答え：(1) 30° (2) 75°
まず(1)です。
角㋐があるのは正方形のかどBで、そのかどを正三角形の辺BEが分けています。
正方形のかどなので角ABCは90°、正三角形の角なので角ABEは60°です。
角㋐は90°から60°を取りのぞいた残りなので、90° − 60° = 30°になります。
次に(2)です。ここでは三角形EBCの辺の長さに目をつけます。
BEは正三角形の辺、BCは正方形の辺です。正三角形は辺ABを1辺として作ったので、BEもBCも、どちらも辺ABと同じ長さです。
BE = BCなので、三角形EBCは二等辺三角形になります。
その頂角にあたる角EBCは、(1)で求めた30°です。三角形の内角の和は180°なので、残り2つの角の合計は 180° − 30° = 150°です。
二等辺三角形の底角は等しいので、150° ÷ 2 = 75°になります。角㋑は75°です。
まとめ
- 二等辺三角形
- 正三角形
- 30°60°90°の三角形
- 直角三角形
- 直角二等辺三角形
どの三角形も、辺の長さや角度に決まった関係を持っています。
等しい辺や角度が見つかると、ほかの辺や角度との関係が見えてきます。片方の手がかりから、もう片方へたどっていけるのがこの5つの強みです。
図形問題を解くとき、これらの三角形が隠れていないか少し意識してみると、思わぬところから手がかりが見つかるかもしれません。