三角形の3つの角を足すと180°
三角形の3つの角をすべて足すと、必ず180°になります。でも、なぜ180°になるのでしょう？
その理由は「平行線」と「錯角」にあります。
㋐ + ㋑ + ㋒ = 180°
三角形で最初に出てくるルールのひとつですが、「なぜ？」と聞かれると少し戸惑うところですよね。
三角形の3つの角を切り取って1か所に集めると、きれいな一直線になります。ただ、それだけでは「この三角形がたまたまそうなった」のか「どんな三角形でも必ずそうなる」のかまでは分かりません。
そこで、三角形の頂点を通るように底辺と平行な補助線を1本引いてみます。ハサミを使わなくても、必ず一直線になる理由のほうが見えてきます。
補助線を引くと現れる錯角
3つの角を1か所に集めて考えるために、底辺と平行な線を補助線として引きます。
この補助線と三角形の2辺が交わるところに、「平行線の錯角（さっかく）」が現れます。平行線にできる錯角は大きさが等しいので、三角形の下にある2つの角と同じ大きさの角が、補助線のところにできます。
左下の角㋐と同じ大きさの角が補助線の左側に、右下の角㋒と同じ大きさの角が右側にできました。真ん中にあるのは、もともと頂点にあった角㋑です。
平行でない線を引いた場合は、錯角が等しくなりません。角の大きさがずれてしまい、3つの角を隙間なく並べることができなくなります。補助線を底辺と平行にするのは、そのためです。
三角形の3つの角が、補助線という一直線の下にちょうど隙間なく並びました。
一直線は180°なので、そこに集まった3つの角も、合わせて180°になります。
この考え方のいいところは、正三角形でも細長い三角形でも、どんな形であっても同じ結論にたどり着けることです。
頂点を通って底辺と平行な線は、三角形の形がどうであっても必ず1本引けるので、下の2つの角と同じ大きさの角も必ず補助線のところにできます。特定の三角形だけに通じる話ではありません。
「180°」という数字だけを覚えるより、なぜ180°になるのかが分かっていると、ほかの図形を見たときにも考え方がつながっていきます。
ポイント
- 三角形の頂点に、底辺と平行な線を引いてみる。
- 平行線の錯角を使うと、3つの角が一直線に集まる。
- 一直線＝180°なので、内角の和も180°になります。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、角㋐は何度ですか？
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答え：75°
三角形の内角の和は180°なので、180° − 65° − 40° = 75°です。
【練習問題】②
下の図で、角㋐は何度ですか？
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答え：65°
直線の角度は180°なので、三角形の左下の内角は 180° − 110° = 70°です。三角形の内角の和は180°なので、180° − 70° − 45° = 65°になります。
110°は三角形の左下の頂点の外角でもあるので、スリッパの法則を使えば、110° − 45° = 65° と一発で求めることもできます。
【練習問題】③
下の図で、角㋓と等しい大きさの角はどれですか？
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答え：角㋐
補助線は底辺と平行に引かれています。補助線と左辺が交わってできる角どうしを見ています。角㋐と角㋓は、平行線にできる錯角の位置にある角どうしなので、大きさが等しいです。
発展問題
ここからは、内角の和180°に二等辺三角形の底の角の話を合わせた問題です。求める角までの手数が少し増えます。
【発展問題】①
三角形ABCは、ABとACが同じ長さの二等辺三角形です。角BACは80°で、辺BC上に点Dをとったところ、ADとBDが同じ長さになりました。
(1) 角㋐は何度ですか？
(2) 角㋑は何度ですか？
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答え：(1) 50° (2) 100°
(1) 最初に見るのは、ABとACに付いた同じ印です。二等辺三角形では底の2つの角が等しくなるので、角㋐と角ACBは同じ大きさになります。
三角形の内角の和は180°で、角BACが80°なので、残りの2つで180° − 80° = 100°です。これを等しく2つに分けて、100 ÷ 2 = 50°になります。
(2) 次に見るのは、ADとBDに付いた印です。この2つが等しいので、三角形ABDもABを底辺とする二等辺三角形になります。底の角にあたるのは角㋐と角BADなので、角BADも50°です。
三角形ABDの内角の和は180°なので、角ADBは 180° − 50° − 50° = 80°です。角ADBと角㋑は直線BCの上で隣り合っているので、一直線は180°から、㋑は 180° − 80° = 100°になります。
角㋑は三角形ABDの外角にもあたるので、スリッパの法則を使うと 50° + 50° = 100° と一度で求められます。
まとめ
三角形の内角の和が180°になるのは、偶然ではありません。
頂点から底辺と平行な補助線を引くと、錯角によって3つの角が一直線に並びます。一直線は180°なので、内角の和も180°になる、という流れです。
この180°は、四角形や五角形の内角の和を考えるときの土台にもなります。三角形ひとつ分の角度が分かっていると、そこから先の図形もつながって見えてきます。