三角形の外角の定理（スリッパの法則）はなぜ成り立つ？
算数で習う「三角形の内角の和は180度」。これを頼りに角度を求めていると、「まずここを出して、次に180から引いて……」と、手順が増えて少し遠回りに感じることがあります。
三角形の一辺を少し外側に伸ばすと、新しい角が現れます。この「外角」に注目すると、わざわざ180度から引かなくても答えが出る場合があります。
それが、通称「スリッパの法則」と呼ばれる外角の定理です。一辺を伸ばしたときの図の形が、横から見たスリッパに似ていることからそう呼ばれているようです。なぜそうなるのか、図と一緒に整理してみましょう。
まずは「外角」の場所を見つけよう
三角形のひとつの辺を、外側にまっすぐ伸ばしてみてください。
すると、三角形の外側に新しい角が現れました。これが「外角（がいかく）」です。
まっすぐ延ばした線と、となりの辺のあいだにできる角が外角になります。図では㋕の部分です。
180度という「共通のゴール」から考える
この外角㋕には、必ず成り立つルールがあります。三角形の内側の角㋐・㋑・㋒と一緒に見てみましょう。特に、となり合っている㋒と㋕に注目です。
ここで、2つのルールを並べてみます。
1つ目は、一直線のルール。㋕ ＋ ㋒ ＝ 180度 ですよね。
2つ目は、三角形のルール。㋐ ＋ ㋑ ＋ ㋒ ＝ 180度 です。
どちらも合計が「180度」になっています。
㋐＋㋑が㋕と同じになる理由
2つの式を見比べてみましょう。
- ㋕ ＋ ㋒ ＝ 180度
- （㋐ ＋ ㋑） ＋ ㋒ ＝ 180度
どちらも「㋒」に何かを足して180度を作っています。ということは、残りのパーツである㋕と（㋐ ＋ ㋑）は、同じ大きさになるはずですよね。
式で分かったことを、図でも確かめてみます。
外角だった部分が、㋐と㋑と同じ大きさの2つに分かれました。すき間も余りもなく収まっているので、㋐ ＋ ㋑ ＝ ㋕ です。
数字でも確かめてみます。㋐が50度、㋑が60度の三角形だとします。
外角の定理で考えると、50＋60で㋕は110度です。
内角の和から回り道をしても同じでした。㋒は180−50−60で70度、㋕は180−70で110度です。
どちらも110度でそろいます。ちがうのは手順の数だけで、外角の定理を使うと㋒を出す一手間が消えます。
「隣り合わない2つの内角を足すと、その外角と同じ大きさになる」という外角の定理は、図形の性質から自然に導かれるルールです。
わざわざ180度から引く手間を飛ばして、足し算ひとつで答えが出ます。理屈がわかれば、計算の流れがすっきり見えてきます。
ポイント
- 一辺を伸ばしたときにできる外側の角が「外角」
- となり合う内角㋒と外角㋕を足すと180度（一直線）になる
- スリッパの法則：㋐ ＋ ㋑ ＝ ㋕（離れた2つを足せば外角が出る）
練習問題
【練習問題】①
下の図で、外角㋐は何度ですか？
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答え：95°
離れた2つの内角は35°と60°です。この2つを足すと外角になるので、35＋60＝95°になります。
【練習問題】②
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：65°
外角110°は、離れた2つの内角を足した大きさです。片方が45°なので、110−45＝65°がもう片方の内角㋐になります。
【練習問題】③
下の図で、離れた2つの内角は同じ大きさです。㋐は何度ですか？
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答え：70°
外角140°は、離れた2つの内角を足した大きさです。2つは同じ大きさなので、140÷2＝70°がそれぞれの内角㋐になります。
発展問題
外角の定理に、二等辺三角形の性質を足して考える問題です。同じ手順をくり返す形になるので、角を1つずつ確かめながら進んでみてください。
【発展問題】①
下の図で、点A・B・Dは一直線に、点A・C・Eも一直線に並んでいます。AB・BC・CD・DEはすべて同じ長さで、角Aは20°です。
(1) ㋐（角BDC）は何度ですか？
(2) ㋑（角DEC）は何度ですか？
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答え：(1) 40° (2) 60°
(1)
まず、いちばん左にある三角形ABCを見ます。ABとBCが同じ長さなので、ここは二等辺三角形です。
二等辺三角形の底の2つの角は等しいので、角BCAは角BACと同じ20°になります。
次に、角DBCに移ります。この角は、辺ABをBの先まで延ばしたところにできているので、三角形ABCの外角です。外角はとなり合わない2つの内角を足した大きさなので、20＋20で40°です。
最後に三角形BCDを見ます。BCとCDが同じ長さなので、こちらも二等辺三角形です。底の2つの角にあたるのが角DBCと角BDCなので、㋐は40°になります。
(2)
今度は、三角形ACDを見ます。角Aは20°、角ADCは(1)で出した40°です（BはADの上にある点なので、角ADCは㋐と同じ角です）。
角DCEは、辺ACをCの先まで延ばしたところにできているので、三角形ACDの外角です。となり合わない2つの内角を足して、20＋40で60°になります。
三角形CDEはCDとDEが同じ長さの二等辺三角形なので、底の2つの角にあたる角DCEと角DECは等しくなります。よって㋑は60°です。
(1)と(2)でやっていることは同じです。二等辺三角形で角を左から右へ移し、外角の定理でその角と20°を足す。この2つをくり返しているだけなので、角は20°、40°、60°と20°ずつ増えていきます。もう1つ先まで続けば80°です。
まとめ
三角形の内角の和を使えば外角も求められますが、外角の定理を知っていると計算のステップをひとつ省けます。
一直線で180度、三角形の内角の和で180度。同じ180度を2通りの作り方で見比べただけで、この法則が出てきました。
なぜ成り立つのかという流れを知っておくと、式のショートカットが自然に使えるようになります。図形問題の見通しが少し変わってくるかもしれません。