三角形の外角の定理（スリッパの法則）はなぜ成り立つ？
算数の時間に習う「三角形の内角の和は180度」。これを頼りに角度を求めていると、「まずここを出して、次に180から引いて……」と、計算のステップが多くて面倒に感じることはありませんか？
三角形の一辺を少し外側に伸ばすと、新しい角が現れます。この「外角」に注目すると、わざわざ180度から引かなくても答えが出る場合があります。
それが、通称「スリッパの法則」と呼ばれる外角の定理です。なぜそうなるのか、図と一緒に整理してみましょう。
まずは「外角」の場所を見つけよう
三角形のひとつの辺を、外側にまっすぐ伸ばしてみてください。
すると、三角形の外側に新しい角が現れました。これが「外角（がいかく）」です。三角形の辺をまっすぐ延ばしたときにできる、外側の角と覚えておくとわかりやすいです。
180度という「共通のゴール」から考える
この外角㋕には、必ず成り立つルールがあります。三角形の内側の角㋐・㋑・㋒と一緒に見てみましょう。特にお隣さん同士である㋒と㋕に注目です。
ここで、2つのルールを並べてみます。
1つ目は、一直線のルール。㋕ ＋ ㋒ ＝ 180度 ですよね。
2つ目は、三角形のルール。㋐ ＋ ㋑ ＋ ㋒ ＝ 180度 です。
どちらも合計が「180度」になっています。
㋐＋㋑が㋕と同じになる理由
2つの式を見比べてみましょう。
- ㋕ ＋ ㋒ ＝ 180度
- （㋐ ＋ ㋑） ＋ ㋒ ＝ 180度
どちらも「㋒」に何かを足して180度を作っています。ということは、残りのパーツである㋕と（㋐ ＋ ㋑）は、同じ大きさになるはずですよね。
実際に重ねてみると、㋐ ＋ ㋑ ＝ ㋕ にぴったり重なります。
「隣り合わない2つの内角を足すと、その外角と同じ大きさになる」という外角の定理は、図形の性質から自然に導かれるルールです。
わざわざ180度から引く手間を飛ばして、足し算ひとつで答えが出ます。理屈がわかれば、計算の流れがすっきり見えてきます。
ポイント
- 一辺を伸ばしたときにできる外側の角が「外角」
- お隣同士の内角㋒と外角㋕を足すと180度（一直線）になる
- スリッパの法則：㋐ ＋ ㋑ ＝ ㋕（離れた2つを足せば外角が出る）
練習問題
【練習問題】①
下の図で、外角㋐は何度ですか？
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答え：95°
離れた2つの内角は35°と60°です。この2つを足すと外角になるので、35＋60＝95°になります。
【練習問題】②
下の図で、㋐は何度ですか？
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答え：65°
外角110°は、離れた2つの内角を足した大きさです。片方が45°なので、110−45＝65°がもう片方の内角㋐になります。
【練習問題】③
下の図で、離れた2つの内角は同じ大きさです。㋐は何度ですか？
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答え：70°
外角140°は、離れた2つの内角を足した大きさです。2つは同じ大きさなので、140÷2＝70°がそれぞれの内角㋐になります。
まとめ
三角形の内角の和を使えば外角も求められますが、外角の定理を知っていると計算のステップをひとつ省けます。
なぜ成り立つのかという流れを知っておくと、式のショートカットが自然に使えるようになります。図形問題の見通しが少し変わってくるかもしれません。