多角形の「外角」を全部足すと、いつでも360度？
三角形でも、五角形でも、はたまた百角形でも、図形の「外側の角度（外角）」を全部足すと、その合計は必ず 360度 になります。
頂点が増えれば内角の和は大きくなるのに、なぜ外角だけは変わらないのでしょうか？
今日はその理由を「内角の和」の知識を使って、パズルのように解き明かしてみます。
隣り合わせの「180度」を見つける
まずは、多角形のひとつの頂点に注目してみましょう。
図のように、内角と外角は背中合わせでピタッとくっついています。
この2つを合わせると綺麗な一直線、つまり 180度 になりますよね。「内角 ＋ 外角 ＝ 180度」。
これが、この謎を解くための最も大切なルールなんです。
図形全体の「合計」を計算してみる
次に、視点を広げて図形全体を見てみましょう。
五角形の場合、この「180度のセット（半円パーツ）」が頂点の数と同じ 5つ あります。
もし、すべての頂点にあるパーツを全部かき集めたら、合計は 180度 × 5 ＝ 900度 になります。
いよいよ「引き算」！パーツはいくつ残る？
さて、ここからが本番です。「全体の合計」から、中身の「内角の和」をごっそり引き算してみましょう。
ここで、180度の「半円パーツ」がいくつあるか数えてみます。
- 全体のパーツ： 頂点と同じ 5つ あります。
- 内角のパーツ： 前回の記事の通り 3つ です。（頂点5 － 2）
この「5つ」から、内角が使っている「3つ」を引いてみると……
180度のパーツが「2つ」だけ、ポツンと残りました。この残った「2つ分の180度」は、もともと内角では使われていなかった分、つまりすべて外角にあたる部分です。
180度 × 2 ＝ 360度。これが外角の和の正体です。
納得のポイント
「全体の数」から「そこから2を引いた数」を取り除くんだから、残るパーツは絶対にいつでも「2つ」になります。
・六角形なら：全体の6個 － 内角の4個 ＝ 残りは2個
・十角形なら：全体の10個 － 内角の8個 ＝ 残りは2個
どんなに頂点が増えても、最後は「2セット分の180度」だけがひょっこり余るようになっているんです。
まとめ
「どんな多角形でも外角の和は360度になる」
これは単なる暗記ではなく、内角と外角が「180度のパーツ」を分け合っているからこそ起きる、必然の結果なんですね。