対頂角はなぜ等しい？「直線は180°」から導く納得の理由｜小学生の算数【図形】

向かい合う角（対頂角）はなぜ同じ？「180°のルール」から考えよう

2本の直線が交わると、その交点に4つの角ができます。

このうち、向かい合っている角どうしを「対頂角」といいます。角は4つあるので、対頂角の組も2つできます。

対頂角は、必ず同じ大きさになります。でも「形がそう見えるから」とか「そういう決まりだから」で済ませてしまいがちですよね。

ここは「直線は180°」というルールだけで説明がつきます。

「お隣さん」を共通にして考えてみる

図のように、角㋐と角㋑が向かい合っているバツ印を考えてみます。その隣にある角を㋒としましょう。

ここで、1本の直線に注目してみます。

まず直線①です。角㋐と角㋒は、どちらも直線①の下側に並んでいます。2つを合わせると、ちょうど直線①が1本ぶんになります。直線の角度は180°なので、

角㋐ ＋ 角㋒ ＝ 180°

次に直線②です。角㋑と角㋒は、直線②の右側に並んでいます。こちらも合わせると直線②が1本ぶんです。だから、

角㋑ ＋ 角㋒ ＝ 180°

角㋐も角㋑も、どちらも角㋒と足したら180°になるんです。

式を入れ替えてみると、もっとはっきりします。

• 角 ㋐ ＝ 180° － 角㋒
• 角 ㋑ ＝ 180° － 角㋒

右側の計算式が、どちらもまったく同じになりました。

どちらも、同じ180°から、同じ角㋒を引いています。

だから、残った角㋐と角㋑も同じ大きさになります。

もう1組の対頂角（角㋒と、その向かい側の角）も、同じやり方で確かめられます。どちらも角㋐と足して180°になるからです。

交わる線が直線じゃないと使えない

直線が交わってできる向かい合った角が対頂角なので、交わったのが直線同士じゃないと対頂角は生まれません。

図のように、直線①に対して②は直線ではないので、㋐と㋑は対頂角ではありません。

なぜ使えなくなるのかは、さっきの式を見ると分かります。㋐と㋑が等しいと言えたのは、どちらも「180°から㋒を引いた残り」だったからです。

ところが②が折れていると、㋑と㋒を合わせても直線1本ぶんになりません。図の破線が、②がまっすぐだった場合の向きです。実際の②はそこから傾いているので、

角㋑ ＋ 角㋒ ＝ 180°

この式が成り立たなくなります。すると㋑は「180°から㋒を引いた残り」ではなくなり、㋐と同じ大きさになる理由も消えてしまいます。

対頂角が使えるかどうかは、角の見た目ではなく、交わっている2本が直線かどうかで決まります。

練習問題

【練習問題】①

下の図で、角㋐は何度ですか。

【練習問題】②

下の図で、角㋐と角㋑はそれぞれ何度ですか。

【練習問題】③

下の2つの図のうち、角㋐と角㋑が必ず等しいと言えるのはどちらですか。理由も考えてみましょう。

発展問題

ここからは、対頂角と直線は180°の2つを組み合わせて使います。線が3本になると角の数も増えますが、たどる道すじは同じです。

【発展問題】①

下の図で、3本の直線が1点で交わっています。

(1) 角㋐は何度ですか。

(2) 角㋑は何度ですか。

まとめ

対頂角は「特別なルール」ではなく、一直線が180°であることから自然に生まれる性質です。

向かい合う2つの角が、同じ角をお隣に持っている。たったそれだけのことが、必ず等しいという結果を作っています。

この考え方は、平行線の角（同位角や錯角）を理解するときにも役立ちます。とくに錯角が等しくなる理由は、この対頂角をそのまま使って説明できます。

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