星形のとがった角は、5つ合わせると180°になります
星形五角形は、5本の直線が交わってできる星の形です。外側にとがった部分が5つあります。
その5つのとがった角を、上から時計回りに㋐・㋑・㋒・㋓・㋔とします。
頂点を動かして星をゆがませると、とがり方は変わります。細くなる角もあれば、太くなる角も出てきます。
でも、5つの角を全部たした角度は、どんな星でも180°になります。
形を変えても180°のままなのはなぜなのか、線を1本引いて確かめてみます。
どんな星でも、5つの角の和は180°です
整った星のとがった角は、5つとも同じ大きさです。1つが36°なので、5つで36×5＝180°になります。
右のようにゆがませると、1つ1つの角はバラバラになります。それでも、5つをたすと180°のままです。
180°という数は、三角形の内角の和と同じ数です。
星の5つの角が、三角形1つ分にちょうど収まっている、ということかもしれません。
そう考えて、5つの角を1つの三角形に集められないか探してみます。
線を1本ふやすと、大きな三角形が出てきます
星の下にある2つの頂点、DとCを線で結びます。
星の辺ADと辺AC、それに今引いた線DCで、三角形ACDができました。
㋐は、この三角形のAのところの角そのままです。
Cのところは、㋒と㋕の2つに分かれています。㋒が星のとがった角で、㋕は補助線との間にできた角です。
Dのところも同じで、㋓と㋖に分かれています。
三角形の内角の和は180°なので、次の式が成り立ちます。
㋐ ＋ （㋒ ＋ ㋕） ＋ （㋓ ＋ ㋖） ＝ 180°
欲しいのは㋐＋㋑＋㋒＋㋓＋㋔です。㋕と㋖の場所に㋑と㋔が入ってくれれば、そのまま答えになります。
補助線を1本引いて三角形に分ける進め方は、ブーメラン型の角度でも出てきます。
対頂角を使って、㋕と㋖を㋑と㋔に置きかえます
星の線BDとCEが交わるところに、点Fを取ります。
Fを頂点にして、三角形が上下に2つできています。
㋑は、星の線BDとBEにはさまれた角です。FはBDの上にある点なので、上向きの三角形FBEのBのところの角は、㋑と同じ大きさになります。
Eのところも同じで、㋔がそのまま入ります。
下向きの三角形FDCは、Dのところが㋖、Cのところが㋕です。補助線で分かれたほうの角が、こちらの三角形に入っています。
Fのところの2つの角は、どちらも㋗としてあります。線BDと線CEが交わってできる対頂角なので、等しくなるからです。
どちらの三角形も、内角の和は180°です。
㋑ ＋ ㋔ ＋ ㋗ ＝ 180°
㋕ ＋ ㋖ ＋ ㋗ ＝ 180°
どちらも、180°から同じ㋗を取りのぞいた残りです。残った部分の大きさは、同じになります。
㋕ ＋ ㋖ ＝ ㋑ ＋ ㋔
これを前の式に入れかえます。
㋐ ＋ ㋑ ＋ ㋒ ＋ ㋓ ＋ ㋔ ＝ 180°
星の5つのとがった角が、三角形1つ分に収まりました。
ゆがませた星でも同じ流れが使えます。補助線を引く場所も、交わる点の作り方も変わらないからです。
別の見方：外がわの三角形とまん中の五角形
星は、外がわに飛び出した5つの三角形と、まん中の五角形に分けられます。
三角形1つの内角の和は180°なので、5つ分で900°です。
この900°の中身は、とがった角が5つと、底の2つの角が5組で10コ分です。
底の角に注目すると、まん中の五角形の辺が、そのまま星の線としてのびています。㋘は、五角形の辺をのばしてできた角です。こういう角を外角といいます。
五角形の1つの頂点には、辺が2本集まっています。どちらをのばしても外角が1つできるので、㋘は1つの頂点に2つずつです。図でも、右上の頂点に㋘が2つ付いています。
外角の和は360°ですが、これは1つの頂点に1つずつ数えたときの合計です。ここでは2つずつ数えているので、その2倍の720°になります。
底の角10コで720°なので、とがった角5つの合計は900−720で180°です。
道すじがちがっても、同じ180°にたどり着きます。
ポイント
- 星形五角形の5つのとがった角は、たすと180°になります。
- 頂点を動かして形を変えても、この和は変わりません。
- 下の2つの頂点を結ぶ補助線を1本引くと、大きな三角形が1つできます。
- 交わった点にできる対頂角のおかげで、残った2つの角を星のとがった角に置きかえられます。
- 外がわの三角形5つとまん中の五角形に分ける見方でも、同じ180°が出ます。
練習問題
【練習問題】①
整った星のように、5つのとがった角がすべて同じ大きさの星形五角形があります。1つの角は何度ですか？
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答え：36°
星形五角形の5つのとがった角の和は180°です。5つとも同じ大きさなので、180÷5で36°になります。
【練習問題】②
星形五角形の5つのとがった角のうち、4つは20°・30°・45°・50°でした。残り1つは何度ですか？
タップで答えを見る
答え：35°
4つの角をたすと、20＋30＋45＋50で145°です。5つの和は180°なので、180−145で35°が残ります。
まとめ
星形五角形の5つのとがった角の和は180°で、形をどう変えてもここから動きません。
線を1本足して三角形を作り、対頂角が等しいことを使って角を置きかえます。やっていることは、それだけです。
ばらばらに見えていた5つの角が、手順をたどると三角形1つ分にそろっていきます。
図の中に三角形を見つけられると、他の形でも同じ手が使えるかもしれません。