同じ道のりなら、速さと時間はセットで決まる
家から公園まで、1200mの道があります。
この道を分速60mで歩くと20分、分速80mで歩くと15分かかります。
速さが変われば、かかる時間も変わります。ここでは速さも時間も変わっていますが、進んだ道のりはどちらも1200mのままです。
この「道のりが同じ」という条件がつくと、速さと時間のあいだに決まった関係が出てきます。今回はその関係を見ていきます。
分速60mと分速80mで、かかる時間をくらべる
まず、それぞれ何分かかるのかを出します。
速さは1分あたりに進む道のりなので、かかる時間は道のりを速さでわると求められます。
分速60mなら、1200÷60＝20分です。
分速80mなら、1200÷80＝15分になります。
上の帯は60mずつ20回、下の帯は80mずつ15回進んでいます。
1回に進む長さも回数もちがいますが、たどり着く場所は同じです。
変わったものと、変わらないもの
2つの進み方をならべて、何が動いたのかを整理します。
速さは60から80へ大きくなりました。
時間は20分から15分へ小さくなりました。
そして道のりは、どちらも1200mのままです。
変わっていないものが1つだけある、というところがこのあとの話の軸になります。
速さの比と時間の比を並べてみる
速さと時間を、それぞれ比の形にしてみます。ここで少し不思議なことが起きます。
3対4と4対3で、順番が入れかわっている
速さの比は60対80です。60も80も20でわれるので、簡単にすると3対4になります。
時間の比は20対15です。こちらは5でわれるので、4対3になります。
わる数はちがいますが、どちらも比の関係はそのままで、数を小さくしただけです。
3対4と4対3。同じ数字が、順番だけ入れかわって出てきました。
このように、2つの比の数が逆さまに入れかわる関係を逆比といいます。逆比そのもののしくみは別の記事で整理しています。
なぜ入れかわるのか
たまたま入れかわったわけではありません。理由は、速さと時間と道のりの関係にあります。
速さ×時間＝道のりです。分速60mで20分歩けば、60×20＝1200mになります。
これを長方形の面積として見てみます。
たてが速さ、よこが時間、面積が道のりです。
2つの長方形は形がちがいますが、面積はどちらも1200で同じです。
たてを60から80へ大きくすると、面積を1200のままにするには、よこを短くするしかありません。
たてが3分の4倍になれば、よこは4分の3倍になります。この「片方が大きくなったぶん、もう片方が小さくなる」という動きが、比の入れかわりとして出てきます。
面積を一定に保ったまま、たてとよこが動く関係は、反比例で扱う形と同じものです。
速さの比が3対2のときも確かめる
別の数でも同じになるか、確かめてみます。
1800mの道を、分速90mで進む場合と分速60mで進む場合です。
速さの比は90対60で、30でわると3対2になります。
かかる時間は、1800÷90＝20分と、1800÷60＝30分です。
時間の比は20対30なので、10でわると2対3になります。
速さが3対2のとき、時間は2対3。ここでも数が入れかわりました。
ポイント
- 道のりが同じとき、速さの比と時間の比は入れかわります。
- 速さの比が3対4なら、時間の比は4対3になります。
- 理由は、速さ×時間＝道のりで、道のりが同じ数のままだからです。
- 同じ道のりなら、速さを2倍にすると時間は半分になります。
- この入れかわりを逆比といいます。
道のりがちがうときは、この関係になりません
逆比になるのは、道のりが同じときだけです。
たとえば、Aさんは1800mを分速90mで、Bさんは600mを分速60mで進むとします。
速さの比は90対60＝3対2で、さっきと同じです。
でも時間は、Aさんが1800÷90＝20分、Bさんが600÷60＝10分になります。
時間の比は20対10＝2対1で、2対3にはなりませんでした。
道のりがちがうと、速さの比だけでは時間の比は決まりません。「道のりが同じなら」という条件が、この関係を支えています。
練習問題
【練習問題】①
同じ道のりを、Aさんは分速50m、Bさんは分速75mで進みます。速さの比と時間の比は、それぞれ何対何ですか。
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答え：速さの比は2対3、時間の比は3対2
50対75は、どちらも25でわれるので2対3になります。道のりが同じなので、時間の比は速さの比を入れかえた3対2です。
【練習問題】②
同じ道を、行きは分速60m、帰りは分速40mで歩きました。行きに12分かかったとき、帰りは何分かかりますか。
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答え：18分
行きと帰りで道のりは同じです。速さの比は60対40＝3対2なので、時間の比は2対3になります。行きの12分が2にあたるので、1にあたるのは6分です。帰りは3にあたるので、6×3＝18分になります。
【練習問題】③
同じ道のりを進む2人がいます。速さの比は4対5で、速いほうの人は20分かかりました。おそいほうの人は何分かかりますか。
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答え：25分
速さの比が4対5なので、時間の比は5対4になります。速いほうの人は速さの5にあたるので、時間では4のほうにあたります。その20分が4にあたるので、20÷4＝5分が1にあたる時間です。おそいほうの人は5にあたるので、5×5＝25分になります。
発展問題
ここからは、時間の比に比を使った分け方の考え方を合わせた問題です。求めるものまでの手数が少し増えます。
【発展問題】①
同じ道のりを、歩くと分速60m、自転車だと分速90mで進みます。自転車だと、歩くより8分早く着きました。
(1) 歩いたときと自転車のときで、かかる時間の比は何対何ですか。
(2) この道のりは何mですか。
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答え：(1) 3対2 (2) 1440m
(1) 速さの比は60対90で、30でわると2対3です。道のりは同じなので、時間の比は入れかわって、歩いた時間と自転車の時間の比は3対2になります。
(2) 時間の比が3対2なので、その差は1にあたります。この1が8分です。歩いたときは3にあたるので8×3＝24分、自転車は2にあたるので8×2＝16分になります。道のりは、歩いたほうで計算すると60×24＝1440mです。自転車のほうで計算しても90×16＝1440mで、同じ答えになりました。
まとめ
1200mの道を分速60mと分速80mで進むと、かかる時間は20分と15分でした。
速さの比は3対4、時間の比は4対3で、数がそっくり入れかわっています。
入れかわる理由は、速さ×時間＝道のりという形にありました。道のりが同じ数のままなら、速さを大きくしたぶん、時間は小さくならないと数が合いません。
この関係が使えるのは、道のりが同じときだけです。道のりがちがえば、速さの比から時間の比は決まりません。
同じ道のりを進む2人をくらべる問題では、片方の時間さえ分かれば、もう片方の時間も比から出せます。