「かけて同じ」なら、比はひっくり返る
たて6cm、よこ2cmの長方形があります。面積は6×2で12平方センチメートルです。
これをたて4cm、よこ3cmに変えても、面積は4×3でやはり12です。たて3cm、よこ4cmにしても、3×4で12のままです。
たてとよこの数は入れかわるように動いていますが、面積だけは12のまま変わっていません。
かけ算の答えが同じままのとき、2つの数の比の間には決まった関係が出てきます。その関係が逆比です。
面積を変えずに形だけ変えてみる
3つの長方形は、よこが2cm、3cm、4cmと増えていて、たてが6cm、4cm、3cmと減っています。面積はどれも12平方センチメートルです。
いちばん左といちばん右をくらべてみます。よこは2cmから4cmへ、2倍になっています。そのときたては、6cmから3cmへ半分になっています。
面積を12のままにしておきたいので、よこが2倍にふくらんだ分だけ、たてはちぢまないと数が合いません。よこを3倍にすれば、たては3分の1です。
この関係は、長方形の面積が「たて×よこ」で出せる仕組みがそのまま働いているだけです。
2つの数だけを見るなら、話は簡単です。よこの2cmと4cmは1：2、たての6cmと3cmは2：1で、比の数がそっくり入れかわっています。
逆比の正体は「逆数の比」
入れかえるだけでいいのなら、なぜそれでうまくいくのでしょうか。
2：3の逆比を作ってみます。かけた答えをそろえたいので、2と3をそれぞれ分母にした分数、2分の1と3分の1を並べます。
2分の1や3分の1のように、もとの数を分母にしてひっくり返した形の分数を逆数といいます。
2分の1：3分の1のままでは大きさをくらべにくいので、分母を6にそろえます。6分の3：6分の2になりました。
分母が同じなら、あとは分子だけを見れば大きさがくらべられます。通分で分母をそろえる考え方がそのまま使えるところです。
分子を読むと3：2です。もとの2：3と見くらべると、数が入れかわっています。
「ひっくり返す」の中身は、それぞれの数を分母にした分数を並べて、通分するという手順だったわけです。
たしかめると、2×3＝6、3×2＝6。どちらも6で同じ数になります。
3つの数でも逆比は出せる
2つならただ入れかえるだけで済みました。ですが数が3つになると、そのやり方は通用しません。
2：3：4の逆比を、並び順を逆にして4：3：2としてみます。それぞれかけると、2×4＝8、3×3＝9、4×2＝8です。答えがそろっていないので、これは逆比になっていません。
そこで、2つのときと同じように分数にします。2分の1：3分の1：4分の1です。
帯1本が全体の「1」で、それを12マスに分けてあります。塗ってある部分を数えると、2分の1は6マス、3分の1は4マス、4分の1は3マスです。
12マスにしたのは、2でも3でも4でもわり切れる数だからです。3つの分母の最小公倍数にあたります。
マス数を上から読むと6：4：3。これが2：3：4の逆比です。
たしかめると、2×6＝12、3×4＝12、4×3＝12。3つともそろいました。
数が4つ5つと増えても、やることは同じです。それぞれを分母にした分数を並べて、分母をそろえて、分子を読むだけです。
3つの逆比が役に立つ場面
同じ仕事を、Aは2日、Bは3日、Cは4日で終えるとします。
よこが日数、たてが1日あたりに進む量で、長方形の面積が仕事全体の量にあたります。仕事全体を12とすると、Aは1日6、Bは1日4、Cは1日3ずつ進めている計算になります。
日数の比は2：3：4、1日あたりの量の比は6：4：3。さきほど出した逆比とぴったり同じ組み合わせです。
この3つの長方形は、記事のはじめに見た面積12平方センチメートルの図とまったく同じ形をしています。cmが日数と量に置きかわっただけで、かけて同じという仕組みは動いていません。
「人×日」を面積図で整理する仕事算でも、この考え方がそのまま出てきます。
速さと時間、たてとよこ、日数と1日あたりの量。かけて答えが一定になる組み合わせを見つけたときは、逆比が使えます。
ポイント
- かけた答えが変わらないとき、2つの数の比は逆比になります。
- 数が2つなら、比を入れかえるだけで逆比が作れます。
- 数が3つ以上では、並び順を入れかえても逆比になりません。
- それぞれの数を分母にした分数を並べ、通分して分子を読むと逆比が出ます。
- 2：3：4の逆比は6：4：3です。
- たしかめは、もとの数と逆比の数をかけて、答えがすべてそろうかを見ます。
練習問題
【練習問題】①
たて6cm、よこ4cmの長方形と面積が同じで、よこが8cmの長方形があります。この長方形のたては何cmですか？
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答え：3cm
もとの面積は6×4で24平方センチメートルです。よこが4cmから8cmへ2倍になっているので、たては半分の3cmになります。24÷8＝3で計算しても同じ答えです。
【練習問題】②
2：3：6の逆比を求めてください。
タップで答えを見る
答え：3：2：1
それぞれを分母にした分数を並べると、2分の1：3分の1：6分の1です。分母を6にそろえると6分の3：6分の2：6分の1になり、分子を読んで3：2：1になります。2×3＝6、3×2＝6、6×1＝6で、かけた答えがそろっています。
並び順を入れかえた6：3：2では、2×6＝12、3×3＝9、6×2＝12となってそろいません。
【練習問題】③
同じ仕事を、Aは3日、Bは4日、Cは6日で終えます。1日あたりに進む量の比はいくつになりますか？
タップで答えを見る
答え：4：3：2
1日あたりの量の比は、日数の比の逆比になります。3分の1：4分の1：6分の1の分母を12にそろえると、12分の4：12分の3：12分の2で、分子を読んで4：3：2です。
仕事全体を12とすると、Aは1日4、Bは1日3、Cは1日2ずつ進める計算です。3×4、4×3、6×2はどれも12でそろっています。
まとめ
かけた答えが変わらないとき、2つの数の比は逆比になっていました。面積を12のままにして長方形の形を変えると、たてとよこがちょうど逆さまに動いていきます。
数が2つなら入れかえるだけで済みますが、3つになるとそれでは合いません。それぞれを分母にした分数を並べて通分する、というやり方なら、数がいくつ並んでも同じように使えます。
比の数が出せたら、もとの数とかけ算をして、答えがすべてそろうかをたしかめてみてください。そろっていれば、それが逆比です。