【仕事算・のべ算】「人×日」を面積図で整理して求める｜小学生の算数【文章題】

のべ算を面積図で整理する

ある仕事を5人でやると、6日かかります。

この仕事を3人でやると、何日かかるでしょうか。

人数が減ったぶん日数は増えそうですが、具体的に何日かはすぐには分かりません。

ここで「人数×日数」を長方形の面積として見てみます。人数が変わっても、仕事の全体量は変わりません。この変わらない全体量を「のべ量」といい、のべ量から人数や日数を求める方法がのべ算です。

仕事の全体量を「人×日」で表す

5人が6日はたらくと、仕事が終わります。

ここで、1人が1日にする仕事の量を「のべ1人日」と呼ぶことにします。

たてを人数（5人）、よこを日数（6日）とした長方形を描くと、マスの数は5×6＝30マスになります。

この30マスが、仕事の全体量です。「のべ30人日」ぶんの仕事がある、ということですね。

人数が変わると日数はどうなる？

仕事の全体量は、人数を変えても変わりません。のべ30人日のままです。

面積が同じ30なら、たて（人数）が変わると、よこ（日数）もそれに合わせて変わります。

3人でやる場合、30÷3＝10で、10日かかります。

左の長方形と右の長方形は、形はまったく違いますが、面積はどちらも30です。

のべ量と人数（または日数）の片方が分かれば、わるだけでもう片方が出てきます。

仕事算を帯図で整理する

Aさんは1人でやると6日、Bさんは1人でやると12日で終わる仕事があります。

2人で一緒にやったら、何日で終わるでしょうか。

完了日数はAさんとBさんで違いますが、取りかかる仕事の全体量は同じです。同じ量に向かって進むなら、1日に進む量を出して合わせれば2人での日数が分かるはずです。

ただ、「6日ぶんの仕事」と「12日ぶんの仕事」では区切りが合わないので、まず全体を同じ数にそろえるところから始めます。これが仕事算の考え方です。

全体の仕事量をそろえる

Aさんは6日で終わる。Bさんは12日で終わる。

同じ仕事なので全体量は同じですが、区切り方が違うと1日に進む量をそのまま比べられません。

そこで、全体の仕事量を「6と12の最小公倍数」である12にそろえます。

全体を12にそろえると、こうなります。

Aさんは12の仕事を6日で終えるので、1日に進む量は12÷6＝2です。

Bさんは12の仕事を12日で終えるので、1日に進む量は12÷12＝1です。

帯図で見ると、Aさんの1日分（②）が6つ、Bさんの1日分（①）が12こ。区切りの数は違いますが、帯の全長（＝仕事の全体量）はどちらも12で同じです。

2人の1日分を合わせると

Aさんの1日分は2、Bさんの1日分は1。

2人で一緒にやれば、1日に進む量は2＋1＝3になります。

全体の仕事量は12なので、12÷3＝4日で終わります。

帯図の3本目を見ると、③が4つ並んでいて、4日で帯が埋まっています。

仕事算では、全体の仕事量を最小公倍数にそろえると計算しやすくなります。そろえてしまえば、あとは1日に進む量を出して、全体をわるだけですね。

練習問題

【練習問題】①

ある仕事を4人でやると8日かかります。この仕事を2人でやると、何日かかりますか？

【練習問題】②

ある仕事を、Cさんは1人でやると10日、Dさんは1人でやると15日で終わります。2人で一緒にやると何日で終わりますか？

【練習問題】③

ある仕事を、Eさんは1人でやると8日、Fさんは1人でやると12日で終わります。Eさんが2日やったあと、残りをFさんが1人で引き継ぎました。Fさんは何日かかりますか？

まとめ

のべ算は、仕事の全体量を「人数×日数」の面積として見て、人数や日数を求めました。面積が一定なら、片方が増えればもう片方は減る、という関係です。

仕事算は、全体量を最小公倍数にそろえて「1日に進む量」を出し、それを合わせて日数を求めました。

のべ算も仕事算も、やっていることは「全体の仕事量を決めて、そこからわり算で求める」という同じ流れです。

全体量をどうやって決めるかが違うだけで、のべ算は「人数×日数」、仕事算は「最小公倍数」で全体をそろえます。仕事量を目に見える数にして整理するのが、どちらにも共通するポイントですね。

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