配る数を変えると、あまりと不足の差はどこから生まれるか
6人の子どもに、みかんを配る場面を考えます。
1人5個ずつ配ると3個あまり、1人7個ずつ配ると9個足りません。
配る個数を5個から7個に増やしたことで、あまりが不足に変わりました。
子どもの人数も、みかんの総数も、どちらも変わっていません。
この差には、人数を求めるヒントがかくれています。
こうした、配り方を変えたときのあまりと不足の差から人数や総数を求める考え方を、差集め算といいます。
1人分を増やすと、あまりと不足はどう変わるか
5個ずつ配ると3個あまるのに、7個ずつ配ると9個足りなくなります。
1人あたりに配る数を5個から7個に増やすと、1人につき2個多く必要になります。
6人分で考えると、この2個の差が6人ぶん積み重なることになります。
その差を人数分集めると、全体の差になる理由
1人あたりの差は2個です。
これが6人ぶん集まると、2個×6人で12個になります。
あまっていた3個と、足りなかった9個を合わせても、3個＋9個で12個です。
つまり、6人全員で増えた分が12個ということになります。
12個を1人あたりの差2個で割ると、12÷2＝6人と求まります。
人数が6人と分かったので、みかんの総数も求められます。
5個ずつ配ると3個あまるので、5個×6人＋3個で33個です。
7個ずつで確かめても、7個×6人－9個で33個になり、同じ数になります。
こうして条件をそろえて考える流れは、つるかめ算・消去算で面積図をそろえる考え方とも似ています。
ポイント
- 配る数を変えると、あまりが不足に変わることがある。
- 1人あたりの差×人数は、あまりと不足を合わせた数と等しくなる。
- この関係から、人数や総数を求める方法が差集め算。
練習問題
【練習問題】①
あめを何人かの子どもに配ります。1人4個ずつ配ると2個あまり、1人6個ずつ配ると6個足りません。子どもは何人ですか。
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答え：4人
1人あたりの差は2個です。あまりと不足を合わせると2個＋6個で8個になります。8個を2個で割ると4人になります。
【練習問題】②
えんぴつを何人かに配ります。1人5個ずつ配ると3個あまり、1人8個ずつ配ると9個足りません。えんぴつは全部で何本ですか。
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答え：23本
1人あたりの差は3個です。あまりと不足を合わせると3個＋9個で12個になります。12個を3個で割ると4人になります。5個×4人＋3個で23本になります。
【練習問題】③
折り紙を何人かに配ります。1人6枚ずつ配ると10枚あまり、1人9枚ずつ配ると1枚あまります。子どもは何人ですか。
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答え：3人
この問題はどちらもあまる場合です。1人あたりの差は3枚で、あまりの差は10枚－1枚で9枚になります。9枚を3枚で割ると3人になります。
まとめ
差集め算は、配り方が変わったときにできる「変化した分」に注目して、人数や総数を求める考え方です。
不足する場合も、今回の練習問題③のようにどちらもあまる場合も、同じように差を見て考えることができます。
和差算・分配算や倍数算と同じように、条件をそろえて図に整理すると、数の関係が見えやすくなります。