みかんとりんごの買い物で見る、消去算のしくみ
みかん3個とりんご2個を買うと560円でした。
同じみかん3個とりんご5個を買うと860円でした。
変わったのはりんごの個数だけで、みかんの個数はそのままです。
2つの買い物をそろえて並べて引き算をすると、同じ部分は消えて、りんごの個数の差だけが残ります。この考え方が消去算です。
そろえて並べるとどうなるか
みかん3個の部分は、どちらの買い物にも同じように入っています。
左端をそろえて2つの帯を並べると、りんごの個数の違いがそのまま帯の長さの違いとして見えてきます。こうして場面を帯で並べる描き方は、線分図の使い方のひとつです。
りんごの個数は2個から5個に増えていて、代金は560円から860円に増えています。5－2＝3個ぶん、りんごが増えたことになります。
なぜ引き算で余分が消えるのか
下の図は、引き算の形に合わせて場面②を上に置いています。
場面②の860円から、場面①の560円をそのまま引いてみます。
場面①の帯（みかん3個＋りんご2個）は、場面②の左側にそのまま入っています。同じ組み合わせどうしを引くと、その部分はちょうど0になって消えます。
残るのは、場面②だけにあった、りんご3個ぶんです。860－560＝300円が、りんご3個の代金にあたります。
300÷3＝100で、りんご1個は100円です。
たしかめてみます。場面①にあるりんご2個は100×2＝200円なので、みかん3個は560－200＝360円です。360÷3＝120で、みかん1個は120円になります。場面②で計算すると120×3＋100×5＝360＋500＝860円なので、ぴったり合います。
個数がそろっていないときは
ここまでは、どちらの場面もみかんが3個でそろっていました。そろっていない問題もあります。
たとえば、みかん2個とりんご1個で340円、みかん4個とりんご3個で780円だとします。このままでは、引いて消える部分がありません。
そこで、みかんを4個にそろえたいので、みかんが2個のほうを買い物ごと2倍にします。みかん4個とりんご2個で680円です。個数も代金も同じだけ倍にしているので、1個あたりの値段は変わりません。
これでみかんが4個ずつそろいました。あとは同じで、780－680＝100が、りんご1個ぶんの代金になります。
ポイント
- 2つの場面を比べて、同じ部分（みかん3個）をそろえます。
- そろえた部分どうしを引くと、同じ部分はちょうど消えます。
- 残った部分の差から、個数が違うほうの値段が求められます。
- 個数がそろっていないときは、買い物ごと倍にしてそろえてから引きます。
練習問題
【練習問題】①
ノート3冊とペン2本で650円でした。ノート3冊とペン5本で950円でした。ペン1本の値段は何円ですか？
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答え：100円です。
ノート3冊の部分は同じなので、そろえて引くと消えます。ペンの差は5－2＝3本、代金の差は950－650＝300円です。300÷3＝100で、ペン1本は100円です。
【練習問題】②
りんご4個とみかん3個で820円でした。りんご4個とみかん7個で1220円でした。みかん5個の代金は何円ですか？
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答え：500円です。
りんご4個の部分は同じなので、そろえて引くと消えます。みかんの差は7－3＝4個、代金の差は1220－820＝400円です。400÷4＝100で、みかん1個は100円です。みかん5個ぶんは100×5＝500円です。
【練習問題】③
ペン2本とノート5冊で900円でした。ペン6本とノート5冊で1700円でした。ペン1本の値段は何円ですか？
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答え：200円です。
ノート5冊の部分は同じなので、そろえて引くと消えます。ペンの差は6－2＝4本、代金の差は1700－900＝800円です。800÷4＝200で、ペン1本は200円です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
りんご・みかん・なしを、次の3通りの組み合わせで買いました。
ア りんご2個、みかん3個、なし1個で740円
イ りんご2個、みかん3個、なし4個で1340円
ウ りんご1個、みかん2個、なし1個で510円
(1) なし1個の値段は何円ですか？
(2) りんご1個とみかん1個の値段は、それぞれ何円ですか？
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答え：(1) 200円です。(2) りんご1個は150円、みかん1個は80円です。
(1) アとイを見くらべると、りんご2個とみかん3個はどちらにも入っていて、ちがうのはなしの個数だけです。
イからアを引くと、りんご2個とみかん3個がまとめて消えて、なし4－1＝3個ぶん、1340－740＝600円が残ります。
同じ組み合わせどうしを引いているので、品物が2種類あっても、1回の引き算でいっしょに消えます。600÷3＝200で、なし1個は200円です。
(2) なしの値段が分かったので、アとウからなしの分を引きます。アはなし1個ぶんの200円を引くと、りんご2個とみかん3個で540円です。ウも200円を引くと、りんご1個とみかん2個で310円です。
これで、りんごとみかんの2種類だけの買い物が2つになりました。ただ、りんごが2個と1個でそろっていないので、ウのほうを買い物ごと2倍にします。りんご2個とみかん4個で620円です。個数も代金も同じだけ倍にしているので、1個あたりの値段は変わりません。
りんごが2個ずつそろったので、620－540＝80で、みかん1個は80円です。
ウの310円からみかん2個ぶんの80×2＝160円を引くと150円なので、りんご1個は150円です。
イでたしかめると、150×2＋80×3＋200×4＝300＋240＋800＝1340円で、ぴったり合います。
まとめ
消去算は、2つの場面を比べて、同じ部分をそろえて引くことで、片方の値段を求める考え方でした。
そろえた部分がちょうど消えるので、残った差だけを見ればよくなります。
個数がそろっていないときも、買い物ごと倍にしてそろえてしまえば、同じように引けます。
この「そろえて引く」考え方は、2種類の数をまとめて求めるつるかめ算・消去算にも出てきます。
2つの式で片方が同じになっている場面を見つけたら、そろえて引けないか、考えてみてください。