数の並びの規則性は、差に注目すると見えてくる
3, 7, 11, 15…という数の並びがあります。
数はどんどん大きくなっていますが、増え方そのものは変わっていません。
隣り合う数どうしを引き算してみると、そのことがはっきりします。
数の並びに隠れた規則性を、差（引き算した答え）に注目しながら整理してみます。
数の並びを、差に注目して見る
隣り合う数どうしの差を、実際に計算してみます。
7−3＝4、11−7＝4、15−11＝4。
どこも差が4になっています。
数の並びを見るときは、まず隣どうしを引き算してみると、こうした共通点が見つかることがあります。
差が分かれば、先の数も求められる
差が4で一定だと分かったので、この並びの続きも求められます。
15の次の数は、15に差の4を足した15＋4＝19です。
この「差に注目する」考え方は、変わらない差を手がかりにして答えを出すという点で、年令算とも似ています。
はなれた順番の数は、足す回数で決まる
1つ先だけでなく、もっと先の数も同じやり方で求められます。
3, 7, 11, 15…の並びで、10番目の数を考えてみます。
1番目は3で、そこから4を足すたびに次の数へ進みます。
2番目は4を1回足した数、3番目は4を2回足した数です。
足す回数は、いつも順番の数より1つ少なくなります。1番目から10番目までに、数と数の間が9つあるからです。
試しに4番目を出すと、4を3回足して3＋4×3＝15。並びの4番目とちゃんと合っています。
なので10番目は、4を9回足した数です。3＋4×9＝39になります。
数は10個ぶんあるのに、足す回数は9回です。このズレは、木の数と間の数がずれる植木算と同じ形をしています。
規則性は「差」だけとは限らない
今度は、2, 6, 18, 54…という並びを見てみます。
隣どうしを引き算すると、6−2＝4、18−6＝12、54−18＝36で、差はそろいません。
ところが、隣どうしをわり算してみると、6÷2＝3、18÷6＝3、54÷18＝3で、どこも3になっています。
差ではそろわなくても、前の数を何倍すると次の数になるか（比）を見るとそろうことがあります。
同じ数の並び方そのものがくり返される周期算のように、差でも比でもない規則もあります。
ポイント
- 隣り合う数どうしの差を計算すると、規則性が見えてくることがあります。
- 差が一定なら、最後の数に同じ差を足すと続きの数が求まります。
- はなれた順番の数は、足す回数が順番より1つ少ないことを使うと求められます。
- 差が一定にならないときは、前の数を何倍すると次の数になるかが一定でないか確かめてみます。
練習問題
【練習問題】①
5, 9, 13, 17, ？ この数列の？に入る数は何ですか？
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答え：21
隣り合う数の差はどこも4です。17に4を足すと21になります。
【練習問題】②
2, 5, 8, 11…とつづく数列があります。この数列の7番目の数は何ですか？
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答え：20
隣り合う数の差はどこも3です。7番目までに3を足す回数は6回なので、2＋3×6＝20になります。
1つずつ足していっても、5番目は14、6番目は17、7番目は20で同じです。
【練習問題】③
3, 6, 12, 24, ？ この数列の？に入る数は何ですか？
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答え：48
隣り合う数の差は3、6、12と一定になりません。比べてみると、どこも2倍になっています。24を2倍すると48になります。
まとめ
3, 7, 11, 15…という数の並びは、隣どうしの差を計算するとすべて4になっていました。
差が一定だと分かれば、そこに同じ数を足すだけで続きの数が求められます。
はなれた順番の数も、足す回数が順番より1つ少ないことを使えば求められます。
差が一定にならないときも、比べ方を変えると、規則性が見えてくることがあります。
次に数の並びを見かけたときは、まず隣どうしの差を計算してみてください。