くり返す並びの「何番目」は、数えなくても見つけられる
○、△、□、○、△、□…と、同じ3つがくり返し並んでいるとします。
この並びの20番目は、○・△・□のどれになるでしょうか。
20番目まで全部書き出せば分かりますが、数が大きくなるほど大変になります。
ただ、番号は1、2、3、4…と増えていくのに、並び方じたい（○△□の順）は、ずっと同じままくり返しています。
この「くり返し」に注目すると、全部書き出さなくても、何番目が何かを見つけられます。この考え方を周期算といいます。
あまりを使って「何番目」を見つける
まず「1周分（周期）」を見つける
○△□の並びは、○・△・□の3個が1つのまとまりになって、これがくり返されています。
この「くり返しの1つ分」を1周と呼びます。○△□なら1周は3個です。
くり返し1回分の長さ（何個でひとまわりするか）を周期といいます。○△□の周期は3です。
くり返す並びは、まず何個ごとにくり返しているかに気づくことが、はじめの一歩になります。これは数の規則性を見つけるのと同じ考え方です。
1周が何個かが分かると、その数を手がかりにして、何番目でも位置を出せるようになります。
番目を周期でわった「あまり」が位置になる
20番目を求めてみます。
1周が3個なので、20を3でわります。
20 ÷ 3 ＝ 6 あまり 2 です。
これは「1周（3個）を6回くり返して、そのあとにあと2個進んだ」という意味です。
だから20番目は、1周の中の2番目と同じ場所になります。○△□の2番目は△なので、20番目は△です。
念のため19番目も見てみます。19 ÷ 3 ＝ 6 あまり 1 なので、1周の1番目＝○です。図の19番目が○、20番目が△と、ちゃんと合っています。
あまりが0のときは「1周の最後」になる
1つだけ、気をつけたい場面があります。
たとえば6番目を求めると、6 ÷ 3 ＝ 2 あまり 0 で、わり切れます。
あまりが0だと「0番目？」と迷いやすいですが、0番目という場所はありません。
わり切れたということは、ちょうど1周ぶんで区切りよく終わった、ということです。
なので、あまり0のときは「その周のいちばん最後＝周期の3番目」になります。6番目は□です。
ポイント
- 同じ並びがくり返すときは、まず「1周＝何個か（周期）」を見つけます。○△□なら周期は3です。
- 「何番目 ÷ 周期」のあまりが、1周の中の何番目かを表します。20 ÷ 3 ＝ 6 あまり 2 なら、2番目と同じで△です。
- あまりが0のときは0番目ではなく、その周のいちばん最後（周期の数の位置）になります。
練習問題
【練習問題】①
○、△、□の3つがくり返し並んでいます。左から14番目は、○・△・□のどれですか。
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答え：△
1周は3個なので、14 ÷ 3 ＝ 4 あまり 2 です。あまり2は1周の2番目と同じなので、14番目は△になります。
【練習問題】②
同じ○△□のくり返しで、15番目は○・△・□のどれですか。
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答え：□
15 ÷ 3 ＝ 5 あまり 0 で、わり切れます。あまりが0のときは1周のいちばん最後になるので、3番目の□です。
【練習問題】③
今度は ○、○、△、□ の4つがくり返し並んでいます。左から30番目は、○・△・□のどれですか。
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答え：○
○が2つ続くので、1周を3個と数えないように気をつけます。1周は○○△□の4個で、周期は4です。30 ÷ 4 ＝ 7 あまり 2 で、1周の2番目と同じです。○○△□の2番目は○なので、30番目は○になります。
まとめ
周期算は、まず1周の長さ（周期）を見つけて、何番目かを周期でわり、あまりの位置を読むだけでした。
20番目のように大きな数でも、20 ÷ 3 ＝ 6 あまり 2 とすれば、全部並べなくても△だと分かります。
あまりが0のときだけ、0番目ではなく1周の最後になることに気をつけてください。
分数を小数に直したときに同じ数字がくり返すのも、出てくるあまりの種類が決まっているために起きることで、くり返しが生まれる仕組みは同じです。
長い並びが出てきたら、まず何個ごとにくり返しているかを数えて、わり算のあまりを見てみてください。