碁石を正方形にびっしり並べてみる
碁石を、正方形の形にすきまなく並べてみます。
1辺に並べる数を増やすと、全体の碁石の数も増えていきます。ですが「正方形にびっしり」という並べ方そのものは変わりません。
1辺に並ぶ数さえ決まれば、全体の数も、いちばん外側の数も決まります。名前は覚えなくても大丈夫ですが、こういう並べ方を考える問題を、方陣算といいます。
問題では「全部で何個」と聞かれることもあれば、「いちばん外側だけで何個」と聞かれることもあります。この2つの数え方を、順番に見ていきます。
1辺に6個ずつ並べた正方形を例に、いっしょに数えてみます。
まず全部でいくつか数える
はじめに、並べた碁石が全部で何個あるかを数えます。
たてにも よこにも、1辺の数だけ碁石が並びます。1辺が6個なら、6個の列が よこに6列ぶんです。
なので全部の数は、6×6＝36個になります。
中身まで詰まった正方形なら、全部の数はいつでも「1辺の数×1辺の数」で出せます。1辺が10個なら10×10＝100個、というように、かけ算ひとつで全体が分かります。
これは長方形の面積が「たて×よこ」で決まるのと同じ考え方です。
いちばん外側だけを数えるコツ
次に、いちばん外側の1周だけを数えます。ここが方陣算のいちばんのポイントです。
つい「1辺6個 × 4辺 ＝ 24個」と数えたくなります。ですがこの数え方だと、4すみの碁石を2回ずつ数えてしまいます。
角の碁石は、となり合う2つの辺の両方に入っているからです。上の辺でも1回、右の辺でも1回と数えると、同じ碁石を重ねて数えてしまいます。
そこで、外側1周を4つのまとまりに分けて、角を1個ずつ入れるように区切ります。すると1まとまりは（6−1）＝5個ずつになります。
これが4つ分なので、5×4＝20個です。角を二重に数えないぶん、24個より4個少なくなります。
「木の数」と「間の数」がずれる植木算と、同じしくみです。端の重なりに気をつけて数える、という点がそっくりです。
別の数え方でも確かめる
外側の数は、別の道からも出せます。全体から内側を引く方法です。
内側というのは、外側の1周を外して残る正方形のことです。まわりを1周ぶん外すと、たてもよこも2個ずつ小さくなります。
すると内側の1辺は、6−2＝4個。内側の数は 4×4＝16個です。
全体の36個から内側の16個を引くと、36−16＝20個になります。
さきほどの 5×4＝20 と、ぴったり同じ答えです。外側を直接数えるのが苦手なときは、この引き算のほうが分かりやすいこともあります。
2つの道で同じ数になるので、答えの確かめにも使えます。
ポイント
- 正方形にびっしり並べたら、全体は「1辺の数×1辺の数」で出せます
- いちばん外側は「（1辺の数−1）×4」。角を二重に数えないのがコツです
- 外側は「全体−内側」でも同じ答えになります
練習問題
【練習問題】①
碁石を、1辺8個の正方形にすきまなく並べます。碁石は全部で何個ですか？
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答え：64個
たてもよこも8個ずつ並ぶので、8×8＝64個です。
【練習問題】②
1辺8個の正方形に並べた碁石のうち、いちばん外側の1周は何個ですか？
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答え：28個
外側1周を4つのまとまりに分けると、1まとまりは（8−1）＝7個。7×4＝28個です。
全体の8×8＝64個から、内側の6×6＝36個を引いて、64−36＝28個としても同じ答えになります。
【練習問題】③
ある正方形に碁石を並べたところ、いちばん外側の1周がちょうど20個でした。1辺は何個ですか？
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答え：6個
いちばん外側は（1辺−1）×4で出せるので、（1辺−1）×4＝20。（1辺−1）＝5になるので、1辺は6個です。
まとめ
方陣算は、碁石を正方形に並べたときの数を考える問題です。
全部の数は「1辺の数×1辺の数」。いちばん外側だけなら「（1辺の数−1）×4」で数えられます。
外側を数えるときは、4すみの角を二重に数えないことがコツです。「（1辺の数−1）×4」で数えても、「全体−内側」で数えても、同じ答えになります。
数える場所を分けて、重なりに気をつければ、もっと大きな正方形でも落ち着いて数えられます。