97が素数かどうかを、わり算で調べてみる
素数は、1と自分自身でしかわり切れない数です。1そのものは素数に入れない約束になっています。
97が素数かどうかを調べるなら、2でわる、3でわる、4でわる、と順に試していく方法があります。
このやり方だと96まで試すことになりそうですが、実際は9まで調べたところで答えが決まります。
わる数を大きくしていくと、わり切れたときに相手になる数は逆に小さくなります。この関係をたどると、途中でやめていい理由が見えてきます。
わり切れる数は、いつも2つで1組になっている
まず、小さい数で様子を見ます。36をわり切れる数を、かけ算の組の形で探してみます。
1×36、2×18、3×12、4×9、6×6の5組が見つかりました。
この組から数を取り出して小さい順に並べると、1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36の9個になります。これが36の約数です。
約数の個数を数えるときにも使った探し方ですね。
大事なのは、約数が1つずつばらばらに出てくるのではなく、必ず2つで1組になって出てくるところです。
組の小さいほうは、6より大きくならない
5つの組を、さっきの9個の並びの上に置いてみます。
どの組も、6をはさんで、左と右に1つずつ分かれています。
これは偶然ではありません。もし組の両方が7以上だとすると、いちばん小さい7×7でも49になって、36を超えてしまいます。8×8や9×9なら、もっと大きくなります。
なので、かけて36になる組では、片方は必ず6以下になります。
ここでの「6以下」は、6そのものもふくむ言い方です。「以上」「以下」と「未満」のちがいは、こういう境目をどちら側に入れるかで決まります。
6×6＝36が、ちょうどその境目です。
ここから、36の約数を探すときは6まで調べれば足りることになります。小さいほうさえ見つかれば、大きいほうは36をその数でわれば出てくるからです。
素数を調べるわり算は、途中で終わっていい
97はどこまで調べれば決まるのか
同じことを97でやってみます。まず、同じ数どうしのかけ算を並べます。
8×8＝64、9×9＝81、10×10＝100です。
81は97より小さく、100は97より大きいので、境目は9と10の間にあります。
もし97が、1と97以外の2つの数のかけ算で表せるとしたら、その組の小さいほうは9以下にいます。両方が10以上だと、10×10＝100ですでに97を超えてしまうからです。
そこで、2から9まで順に試します。
97は偶数ではないので2でわり切れません。各位の数を足すと9＋7で16なので、3でもわり切れません。
一の位が7なので、5でもわり切れません。
7は7×13＝91、7×14＝98となって、97をとび越します。
残りの4・6・8・9も、どれもわり切れませんでした。
小さいほうの候補が9以下にしかないのに、そこに1つも見つからないので、97は1と97でしかわり切れない数、つまり素数と決まります。
わり切れたときは、その場で決まる
今度は91で試します。
9×9＝81は91より小さく、10×10＝100は91より大きいので、こちらも9まで調べればよさそうです。
2、3、4、5、6と試して、どれもわり切れません。7でわると、91÷7＝13でぴったり割り切れました。
91＝7×13なので、91は素数ではありません。
ここで13は9より大きい数ですが、探しに行かなくても出てきました。相手の7が9以下にいるので、先に見つかるようになっています。
大きいほうの約数は、小さいほうが見つかった時点で、わり算で出せます。
試すわる数は、素数だけでいい
2から9まで全部試しましたが、実はもう少し減らせます。
4でわり切れる数は、その前に2でもわり切れています。6も8も同じです。9でわり切れる数は、3でわり切れます。
なので、2でだめ、3でだめ、と確かめた時点で、4・6・8・9は試すまでもありません。
残るのは2・3・5・7の4回だけです。
わり切れるかどうかは、倍数の見分け方を使うと、実際にわり算をしなくても確かめられます。
ポイント
- わり切れる数は2つで1組になって出てきます。36なら1×36から6×6までの5組です。
- 組の両方が境目より大きいと、かけ算の答えがもとの数を超えてしまいます。なので片方は必ず境目以下になります。
- 境目は「同じ数どうしをかけて、その数を超えないところ」です。97なら9×9＝81までなので、9が境目になります。
- 境目まで調べてわり切れる数が1つもなければ、その数は素数です。見つかった場合は、その時点で素数ではないと決まります。
練習問題
【練習問題】①
51は素数ですか。どこまで調べればよいかも考えてみましょう。
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答え：素数ではありません（7まで調べます）
7×7＝49は51より小さく、8×8＝64は51より大きいので、7まで調べれば決まります。
2ではわり切れませんが、5＋1＝6で3の倍数なので、3でわり切れます。51÷3＝17なので、51＝3×17です。
【練習問題】②
103は素数ですか。
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答え：素数です
10×10＝100は103より小さく、11×11＝121は103より大きいので、10まで調べます。
試すのは2・3・5・7だけで足ります。103は奇数、各位の和は1＋0＋3＝4、一の位は3、7は7×14＝98と7×15＝105で103をまたぎます。
10以下にわり切れる数が1つもないので、103は素数です。
【練習問題】③
121は素数ですか。調べるのをどこでやめるかに気をつけてみましょう。
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答え：素数ではありません
11×11＝121は121を超えていないので、11も調べる必要があります。10でやめてしまうと答えをまちがえます。
2・3・5・7ではわり切れませんが、11でわると121÷11＝11になります。121＝11×11なので、素数ではありません。
まとめ
わり切れる数は2つで1組になって現れます。この見方をすると、素数かどうかの調べ方が短くなります。
組の両方が大きいままだと、かけ算の答えがもとの数を超えてしまいます。だから片方は、同じ数どうしのかけ算で区切った境目より大きくはなりません。
97なら9まで、103なら10まで、121なら11まで。そこまで調べてわり切れる数が出てこなければ、それは1と自分自身でしかわり切れない数です。
95回のわり算が4回で済むこともあるので、約数を書き出すときにも使える見方ですね。