24をわり切れる数を、全部探してみる
24をわり切れる数を探すとき、1から順に試していくやり方があります。
1でわれて、2でわれて、3でわれて、4でわれます。5はわり切れないので飛ばして、6はわれます。
どこから調べ始めるか、どんな順番で探すかは人によって変わります。ですが、最後に出てくる数の顔ぶれは、だれが探しても同じです。
その顔ぶれがいくつあるのか、数えていきます。
探すときに便利なのが、かけ算の組で考える方法です。1×24、2×12、3×8、4×6と、かけて24になる組を探します。
組は4組見つかりました。それぞれの組から2つずつ数を取り出して小さい順に並べると、1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 の8個になります。
これが24の約数です。約数と倍数の記事でも使った書き出し方ですね。
組で考えると数え落としは減りますが、数が大きくなると組そのものを見落としやすくなります。144や360くらいになると、書き出すだけでかなりの手間です。
では、書き出さずに個数だけを出す方法はないのでしょうか。使うのは、約数の中に混ざっている特別な数です。
約数がちょうど2個しかない数がある
さっきの8個をよく見ると、性質の違う数が混ざっています。
4は2×2、6は2×3、8は2×4というように、もっと小さい数のかけ算に分けられます。
一方、2と3はそれ以上分けられません。2をかけ算で表そうとすると1×2しかなく、3も1×3だけです。
このように、約数が1と自分自身の2個しかない数を素数といいます。小さいほうから2, 3, 5, 7, 11, 13 と続きます。
1つの数が素数かどうかを調べるときは、2でわり切れるか、3でわり切れるか、と順に確かめていきます。ここでは倍数の見分け方がそのまま使えますし、どこまで試せば答えが決まるのかにも決まりがあります。
24の約数8個のうち、素数は2と3の2つです。
24を素数だけのかけ算に分ける
その2と3を使って、24を素数だけのかけ算に書きかえてみます。
2×12から始めると、12は2×6に分けられて、6は2×3に分けられます。並べると2×2×2×3です。
4×6から始めた場合も、4は2×2、6は2×3なので、やはり2×2×2×3になります。
図の赤い数が、これ以上分けられない数です。左は12を分け、右は4と6をそれぞれ分けていて、途中の道筋は違っています。
それでも、最後に残る数の顔ぶれは2・2・2・3で変わりません。並ぶ順番が入れかわることはありますが、順番がちがっても使う数はそろっているので、同じ分け方として見ます。
このように、ある数を素数だけのかけ算に分けることを素因数分解といいます。
この分け方は、分数を小数に直すと割り切れるか、くり返すかを見分けるときにも使います。分母を素数のかけ算に分けて、2と5だけでできているかを見るだけです。
約数は「素数を何個ずつ使うか」で決まる
2を何個使うか、3を何個使うか
24 ＝ 2×2×2×3 なので、24を作っている材料は2が3個と3が1個です。
24の約数は、この中からいくつかを取り出してかけた数になります。たとえば6は2を1個と3を1個、8は2を3個だけ使った数です。
2は0個・1個・2個・3個の4通り、3は0個・1個の2通りから選べます。0個というのは「その数をかけない」という意味です。
表のたては2を何個使うか、よこは3を何個使うかを表しています。
左上のマスは、2も3も0個です。どちらもかけないので1になります。1はどんな数の約数にもなるので、ここに入ります。
右下のマスは、2を3個と3を1個で全部使うので、2×2×2×3の24です。
マスをぜんぶうめると、1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24 の8個が並びます。最初に書き出した8個と、ぴったり同じ顔ぶれです。
「たてが4通り、よこが2通り」という数え方は、樹形図でもれなく数えるときの考え方と同じですね。
だから（個数＋1）をかけると出る
2の選び方は（3＋1）通り、3の選び方は（1＋1）通りでした。
＋1がついているのは、0個使う場合があるからです。2は3個ありますが、使い方は1個・2個・3個の3通りではなく、0個を入れた4通りになります。
4×2で8。書き出して数えた8個と一致します。
やることをまとめると、素数が何個ずつあるかを調べて、それぞれに1をたして、全部かけ合わせるだけです。
別の数でも手順は変わりません。100は2×2×5×5なので、2の使い方が（2＋1）通り、5の使い方が（2＋1）通りで、3×3の9個です。
確かめに書き出すと、1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 で、やはり9個あります。
30のように素数が3種類（2×3×5）の場合も同じです。（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）で8個。表には収まらなくなりますが、かけ合わせる数が1つ増えるだけです。
1を素数に入れない理由
1の約数は1だけで、1個しかありません。素数の条件は「約数がちょうど2個」なので、1は素数に入りません。
ただ、条件に当てはまらないから、というだけの話ではありません。もし1を素数に入れると、今の数え方そのものが動かなくなります。
1は何個かけても答えが変わりません。24を素数のかけ算に分けたとき、1×2×2×2×3とも書けますし、1×1×2×2×2×3とも書けてしまいます。
そうなると分け方がいくつも作れてしまい、「1を何個使うか」が決められません。（個数＋1）をかける手順が成り立たなくなります。
素数のかけ算への分け方が1通りに決まるからこそ、約数の個数も1つに決まります。
ポイント
- 約数が1と自分自身の2個しかない数を素数といいます。
- どんな数も素数だけのかけ算に分けられます。分ける道筋が違っても、出てくる素数の顔ぶれは同じです。
- 約数は「その素数を何個使うか」の組み合わせで決まります。0個も選べるので、選び方は（個数＋1）通りです。
- 約数の個数は、それぞれの（個数＋1）をかけ合わせると出ます。24なら（3＋1）×（1＋1）で8個です。
練習問題
【練習問題】①
36を、素数だけのかけ算に分けてください。
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答え：2×2×3×3
36は4×9に分けられて、4は2×2、9は3×3になります。
6×6から始めた場合も、6は2×3なので、同じ形にたどり着きます。
【練習問題】②
36の約数は何個ありますか？
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答え：9個
36 ＝ 2×2×3×3 なので、2が2個と3が2個です。
2の使い方は0個・1個・2個の3通り、3の使い方も同じく3通りあります。3×3で9個です。
【練習問題】③
約数がちょうど3個になる数を、1つ答えてください。
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答え：4（9や25でも合っています）
約数の個数は（個数＋1）をかけて出るので、3になるのは（2＋1）だけの形です。
同じ素数を2個かけた数がこれに当たり、2×2＝4、3×3＝9、5×5＝25などがあります。4の約数は1, 2, 4の3個です。
まとめ
24の約数は、書き出すと8個でした。
同じ8個が、2を何個使うか（4通り）と3を何個使うか（2通り）の組み合わせからも出てきます。書き出す方法と、組み合わせを数える方法が、同じ答えにたどり着きます。
（個数＋1）の＋1は、0個使う場合の分です。ここが分かると、数が大きくなっても手順は変わりません。
そして、この手順が使えるのは、素数のかけ算への分け方が1通りに決まるからです。1を素数に入れない理由も、そこにつながっています。