バラバラな点数を、同じ高さにそろえてみる
4人がテストを受けて、60点、90点、70点、40点という結果でした。
1人ずつ見ると点数はバラバラですが、4人分を合計すると260点になります。
だれがどの点数だったとしても、合計は260点のままです。
この合計を4人で均等に配りなおした数が「平均」です。
点数はバラバラなのに、「平均」は1つの数
4人の点数を棒グラフにしてみます。
Aさん60点、Bさん90点、Cさん70点、Dさん40点。高さはそれぞれ違いますが、4本を合計すると260点になります。
平均は、この260点を4人でならしたときの高さにあたります。つまり、4本の棒を全部同じ高さにしたときの高さです。
多い分を、少ない分へ移してみる
平均は、合計を人数でわると求められます。4人の合計は260点だったので、260÷4＝65で、平均は65点になります。
ここでのわり算は、260点を4人に同じだけ分けたときの1人分を出す計算にあたります。
Bさんは90点、Cさんは70点で、どちらも平均より多く持っています。多い分は、Bさんが25点、Cさんが5点で、合わせて30点です。
Aさんは60点、Dさんは40点で、どちらも平均より足りません。足りない分は、Aさんが5点、Dさんが25点で、合わせて30点です。
多いほうの30点を、足りないほうの30点へそのまま移していきます。
4人とも65点になりました。
多い分の30点と足りない分の30点が同じ数になるのは、たまたまではありません。
4人が65点ずつ持っているとすると、合計は65×4で260点です。実際の合計も260点で、同じ数でした。
平均より多い分は合計に加わり、足りない分は合計から減ります。それでも実際の合計が260点のまま同じなので、加わる分と減る分は同じ大きさだったことになります。
だから、平均の線を基準にすると、人数が何人でも、上にはみ出した分の合計と、下に足りない分の合計は同じ数になります。
ならしたあとは4人とも65点ですが、実際に65点だった人は1人もいません。平均は、だれか1人の点数ではなく、全員の点数を配りなおしたときの高さを表した数です。
面積で見ると「平均×人数＝合計」
ならしたあとの4本の棒は、高さがすべて65点で同じです。
これを長方形の面積として見てみます。点数を面積に置きかえてみると、少し違った見え方になって面白いところです。
たてを平均の65点、よこを人数の4人とすると、面積は65×4＝260になります。
これは、最初の4人分の合計とぴったり同じ数です。
平均を求めるときに合計を人数でわるのは、この面積図をたてで見ているのと同じことです。面積（合計）を、よこ（人数）でわると、たて（平均）が出てきます。
反対に、たて（平均）とよこ（人数）が分かっているときは、かけ算で面積（合計）が出せます。平均×人数＝合計という式は、この長方形をそのまま読んだものです。
ポイント
- 平均は、合計を人数でならして求めた数です。
- 平均より多い分と、足りない分は、いつでも同じ数になります。
- 多い人の分を、少ない人へ移していくと、全員が同じ高さになります。
- 平均×人数＝合計、という関係は、面積図のたて×よこ＝面積と同じ形をしています。
練習問題
【練習問題】①
Aさん、Bさん、Cさんの3人がなわとびをして、回数は18回、25回、20回でした。3人の平均は何回ですか？
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答え：21回
3人の合計は18＋25＋20＝63回です。平均は合計を人数でわるので、63÷3＝21で、21回になります。
【練習問題】②
5人がハンドボール投げをして、平均は18mでした。5人の合計は何mですか？
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答え：90m
平均×人数＝合計なので、18×5＝90で、90mになります。
【練習問題】③
4人のテストの平均は72点でした。4人のうち3人の点数が65点、80点、70点のとき、残り1人の点数は何点ですか？
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答え：73点
4人の合計は、平均×人数で72×4＝288点です。分かっている3人の合計は65＋80＋70＝215点なので、残り1人は288－215＝73点になります。
まとめ
4人の点数はバラバラでも、合計は変わりませんでした。
多い人の分を少ない人へ移していくと、全員が同じ高さになり、それが平均です。
平均の線より上にはみ出した分と、下に足りない分は、いつでも同じ数になっていました。
面積図で見ると、平均×人数＝合計という関係も、同じことを別の形で表しているだけでした。
だれが何点だったとしても、合計÷人数でいつでも平均が求められます。