たし算の式で、□だけが分かっていないとき
15＋□＝40 という式があります。
たし算の式ですが、ふつうの計算とは少しちがって、答えの40のほうが先に分かっています。分かっていないのは、まん中の□だけです。
15と□を合わせると40になる、という関係は変わっていません。変わっているのは、どこがかくれているかだけです。
このように、式の中のかくれた数をさがす計算を逆算といいます。
線分図にすると、□がどこにいるか見える
式のままだと□の正体がつかみにくいので、線分図にしてみます。
帯の全部の長さが40です。その中の左の部分が15で、右の部分が□になっています。
ここで分かるのは、□が全体の一部分だということです。
40という全体があって、そのうち15の場所だけがはっきりしている状態です。
全体から分かっている部分を取ると、残りが□になる
帯の全体は40、左の部分は15。この2つが分かっていれば、右の部分は計算で出せます。
全体から左の部分を取りのぞくと、残るのが右の部分です。
40－15＝25 なので、□にあてはまる数は25になります。
たしかに 15＋25＝40 になりました。
ここで引き算を使ったのは、「たし算の式だから反対の引き算をする」からではありません。
全体から分かっている部分を取った残りが□だからです。引き算を使う理由が、少しちがうところにあります。
□の場所が変わると、使う計算も変わる
逆算を「たし算なら引く、引き算ならたす」と覚えると、うまくいかない式が出てきます。
15＋□＝40、40－□＝15、□－15＝25。この3つを線分図にして並べてみます。
40－□＝15 も、40－15で出る
40－□＝15 は、「40から□を取ると15残る」という式です。
図にすると、いちばん上の 15＋□＝40 とまったく同じ形になります。
全体が40、その一部が15、残りが□。式の見た目はちがっても、帯の上では同じ状態です。
なので、こちらも 40－15＝25 で□が出ます。引き算の式でも、□を出すのは引き算のままです。
□－15＝25 は、たし算になる
3つ目の □－15＝25 は形がちがいます。
「□から15を取ると25残る」ので、□は取られる前の数、つまり全体です。
図でも、□は帯全体を指しています。15と25は、その全体を分けた部分です。
分かっているのが部分どうしなので、合わせれば全体が出ます。
15＋25＝40 で、□は40です。
見るのは「□が全体か部分か」
3つの式を見くらべると、計算を決めているのは式の記号ではないことが分かります。
□が部分にいるときは、全体から分かっている部分を取ります。
□が全体にいるときは、部分どうしを合わせます。
これなら、式がたし算でも引き算でも、同じ見方で決められます。
かけ算・わり算でも、見方は同じ
かけ算やわり算の逆算も、考え方は変わりません。全体と1つ分の関係で見ていきます。
□×4＝60 は、60を4つに分ける
□×4＝60 は、□が4つ集まって60になるという式です。
図では、同じ大きさの箱が4つ並んで、合わせて60になっています。
□が1つ分、4がいくつ分、そして60が全体にあたります。
全体を4つに等しく分ければ1つ分が出るので、60÷4＝15 になります。
60÷□＝4 も、60÷4で出る
60÷□＝4 は、「60を□ずつに分けたら4つ分になった」という式です。
わり算の2つの意味でいえば、いくつ分になるかをたずねる形の式で、さがしているのはその1つ分にあたる□です。
□の4つ分で60になっているので、図はさっきの □×4＝60 と同じになります。
なので、こちらも 60÷4＝15 です。わり算の式でも、□を出すのはわり算のままです。
□÷4＝15 は、かけ算になる
□÷4＝15 は、□を4つに分けたら1つ分が15だった、という式です。
今度は□が全体の側にいます。
15が4つ分で□なので、15×4＝60 になります。
わり算をかけ算にもどして確かめるのと同じ形ですね。
ポイント
- 逆算は、式の中のかくれた数（□）をさがす計算です。
- 線分図にすると、□が全体なのか部分なのかが見えます。
- □が部分なら、全体から分かっている部分を取ります。
- □が全体なら、部分どうしを合わせます。
- かけ算・わり算では、□が1つ分なら全体をいくつ分かに分け、□が全体なら1つ分にいくつ分かをかけます。
練習問題
【練習問題】①
24＋□＝60 の□にあてはまる数を求めましょう。
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答え：36
全体が60で、そのうち24が分かっています。□は残りの部分なので、60－24＝36です。
24＋36＝60になるので、合っています。
【練習問題】②
□－17＝25 の□にあてはまる数を求めましょう。
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答え：42
□から17を取ると25残るので、□は全体のほうです。
分かっているのは17と25の2つの部分なので、合わせると17＋25＝42になります。
【練習問題】③
90÷□＝6 の□にあてはまる数を求めましょう。
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答え：15
90を□ずつに分けたら6つ分になった、という式です。
□の6つ分が90なので、90を6つに分ければ1つ分が出ます。90÷6＝15です。
まとめ
逆算というと「反対の計算をする」と覚えがちですが、式の記号だけを見ていると、40－□＝15 のような式でつまずきます。
線分図にしてしまえば、判断することは1つだけになります。□が全体なのか、部分なのか。
□が部分なら、全体から分かっているところを取ります。□が全体なら、部分を合わせます。
かけ算・わり算でも同じです。□が1つ分なら、全体をいくつ分かに分けます。□が全体なら、1つ分にいくつ分かをかけます。
大事なのは、式を見て計算を思い出すことではなく、帯のどこが□なのかを見ることです。
そうすると、今回出てきた形は、どれも同じように考えられます。