つるかめ算を面積図で整理する
鶴と亀が合わせて10匹います。足の数は合わせて32本です。
鶴は1匹2本、亀は1匹4本。合計の匹数と足の数は分かっているのに、鶴が何匹で亀が何匹かは、このままだとなかなか決まりません。
ところが、「1匹の足の数」と「匹数」を面積図に置きかえてみると、足の合計が長方形の面積として見えるようになります。この面積図を使って2種類の数をまとめて求めるのが、つるかめ算の解き方です。
足の数を長方形に置きかえる
長方形の面積はたて×よこで求められます。これを使って、たてを「1匹の足の数」、よこを「匹数」に置きかえると、面積がちょうど「足の合計」になります。
鶴のブロックは、たて2本×よこ？匹。亀のブロックは、たて4本×よこ？匹。2つのブロックを横に並べると、よこの合計が10匹、面積の合計が32本です。
数の関係を長方形に置きかえただけなので、まだ鶴と亀の匹数は分かっていません。では、この面積図を使って実際に匹数を求めてみます。
「もし全部 鶴だったら」で差から考える
ここで、「もし10匹 全部が鶴だったら」と考えてみます。
全部鶴なら、足は2×10＝20本。でも実際は32本なので、32−20＝12本多くなっています。
面積図で見ると、高さ2の下地（もし全部鶴だったら）の上に、亀の部分だけ高さ2ぶん出っぱった部分があります。この出っぱった部分の面積が、差の12本にあたります。
この部分のたては4−2＝2本（鶴と亀の1匹あたりの足の数の差）で、よこが亀の匹数です。
12÷2＝6で、亀は6匹。鶴は10−6＝4匹です。
たしかめると、鶴4匹×2本＝8本、亀6匹×4本＝24本。合わせて8＋24＝32本で、ぴったり合います。
ポイント
つるかめ算の考え方
- 「1つ分の量×個数＝合計」を面積図の長方形に置きかえます。
- 「もし全部○○だったら」と片方にそろえて、実際の合計との差を出します。
- 差を「1つあたりの差」でわると、もう片方の数が求められます。
消去算を線分図で整理する
今度は少しちがう問題です。
りんご2個とみかん3個を買うと320円、りんご2個とみかん5個を買うと440円。2つの買い物に「りんご2個」が共通で入っています。
この共通部分をそろえて差を見ると、片方ずつ値段が出てきます。この考え方が消去算です。
共通部分をそろえて差を見る
2つの買い物を線分図にして、左端をそろえて上下に並べてみます。
式Aはりんご2個＋みかん3個＝320円、式Bはりんご2個＋みかん5個＝440円です。
左側の「りんご2個」は、どちらの式にも同じように入っています。帯をそろえて並べると、式Bのほうがみかん2個ぶんだけ右にはみ出しています。
このはみ出した部分が、2つの式の差にあたります。
440−320＝120円が、みかん2個ぶんの値段です。120÷2＝60で、みかん1個は60円と分かります。
片方が分かればもう片方も出る
みかん1個が60円と分かったので、式Aに戻ってりんごの値段を求めてみます。
式Aは「りんご2個＋みかん3個＝320円」でした。みかん3個は60×3＝180円なので、りんご2個は320−180＝140円。りんご1個は140÷2＝70円です。
たしかめると、りんご2個＋みかん5個＝140＋300＝440円で、式Bとぴったり合います。
共通部分（りんご2個）をそろえたことで、差からみかんの値段が先に出て、そこからりんごの値段も求められました。
ポイント
消去算の考え方
- 2つの式を線分図にして、共通部分をそろえて並べます。
- はみ出した部分が差にあたり、そこから片方の値段が分かります。
- 片方が分かれば、もう一方の式に戻してもう片方も求められます。
練習問題
【練習問題】①
鶴と亀が合わせて8匹います。足の数の合計は26本です。鶴と亀はそれぞれ何匹ですか？
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答え：鶴は3匹、亀は5匹です。
もし全部鶴なら、足は2×8＝16本です。実際は26本なので、差は26−16＝10本です。
鶴と亀の1匹あたりの足の数の差は4−2＝2本なので、10÷2＝5で亀は5匹、鶴は8−5＝3匹です。
【練習問題】②
ノート3冊と消しゴム2個を買うと410円、ノート3冊と消しゴム5個を買うと650円です。消しゴム1個はいくらですか？
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答え：80円です。
どちらもノート3冊は同じなので、差の650−410＝240円が消しゴム5−3＝3個ぶんにあたります。240÷3＝80円です。
【練習問題】③
1本120円のジュースと1本200円のジュースを合わせて10本買い、代金の合計は1520円でした。それぞれ何本買いましたか？
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答え：120円のジュースが6本、200円のジュースが4本です。
もし全部120円なら、代金は120×10＝1200円です。実際は1520円なので、差は1520−1200＝320円です。
1本あたりの差は200−120＝80円なので、320÷80＝4で200円のジュースは4本、120円のジュースは10−4＝6本です。
鶴と亀ではなく買い物の場面ですが、「2種類の合計が分かっていて、1つ分の量がちがう」形は同じなので、つるかめ算と同じ考え方で解けます。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
コップを1個運ぶごとに20円もらえます。とちゅうで割ってしまうと、その1個分の20円がもらえないうえに、べつに30円をはらいます。コップを50個運んだところ、受け取った金額は合計850円でした。割ってしまったコップは何個ですか。
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答え：3個です。
まず、「もし1個も割らずに50個運べたら」を考えます。20×50＝1000円です。
実際に受け取ったのは850円なので、1000−850＝150円だけ少なくなっています。この150円が、割ってしまったことで減った分にあたります。
次に、コップを1個割ると、いくら減るのかを見ます。もらえるはずだった20円が入らず、さらに30円をはらうので、1個につき20＋30＝50円減ります。
150÷50＝3で、割ったコップは3個です。
「もし全部うまくいったら」との差を、1個あたりの差でわる流れは、つるかめ算と同じです。ちがうのは、はらう分があるために1個あたりの差が「もらえない20円」と「はらう30円」の合計になるところです。
たしかめると、無事に運んだ47個で20×47＝940円、割った3個で30×3＝90円をはらうので、940−90＝850円になります。
【発展問題】②
えんぴつ3本とノート2冊を買うと520円、えんぴつ5本とノート3冊を買うと820円です。下の図は、この2つの買い物を式A・式Bとして線分図にしたものです。
(1) えんぴつ1本はいくらですか。
(2) ノート1冊はいくらですか。
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答え：(1) 80円 (2) 140円
(1) 2つの式を見ると、えんぴつの本数も、ノートの冊数もそろっていません。このままでは、引いても消える部分がありません。
そこで、どちらか一方をそろえます。ノートは2冊と3冊なので、最小公倍数の6冊にそろえます。
式Aを3倍すると、えんぴつ9本＋ノート6冊＝1560円。式Bを2倍すると、えんぴつ10本＋ノート6冊＝1640円です。
同じ買い物を3組ぶん、2組ぶん買っただけなので、本数も冊数も金額も同じ倍になります。値段の関係はこわれません。
ノートが6冊でそろったので、2つの式のちがいはえんぴつの本数だけです。1640−1560＝80円が、えんぴつ10−9＝1本分にあたります。えんぴつ1本は80円です。
(2) えんぴつ1本が80円と分かったので、もとの式Aに戻します。
えんぴつ3本は80×3＝240円なので、ノート2冊は520−240＝280円。280÷2＝140で、ノート1冊は140円です。
たしかめると、えんぴつ5本とノート3冊は80×5＋140×3＝400＋420＝820円で、式Bと合います。
まとめ
つるかめ算は面積図で「もし全部○○だったら」とそろえて、差から匹数を求めました。消去算は線分図で共通部分をそろえて、差から値段を求めました。
道具は面積図と線分図でちがいますが、「そろえて、差を見る」という発想は同じです。
ほかの文章題でも、「同じ大きさのまとまりを作って、わり算で1つ分を出す」という流れはくり返し出てきます。文章題で2つ以上の数を同時に求めたいときは、まず何かをそろえて差を作れないか、考えてみてください。