分母がちがう分数は、なぜそのままでは足せないのか
1/2 と 1/3 を並べてみると、どちらも分子は1ですが、大きさはちがいます。
このまま分子どうし・分母どうしを足して2/5とすると、実際の大きさとずれてしまいます。
分母がちがう分数を正しく足すには、ひと手間必要になります。
1/2と1/3を、そのまま足すとどうなるか
1/2 は、同じ長さの棒を2等分したうちの1個分です。1/3 は、同じ長さの棒を3等分したうちの1個分です。
図の青い部分が1/2、オレンジの部分が1/3です。2等分した1個分と、3等分した1個分では、大きさが明らかにちがいます。
「1個分」という言葉は同じでも、指している大きさが違うため、分子の1と1をそのまま足しても、意味のある数にはなりません。
分母は「全体をいくつに分けたか」を表していて、分子は「そのうちいくつ分か」を表しています。
分母がちがうということは、そもそも「1個分の大きさ」がちがう分数どうしを比べようとしている、ということになります。
分母をそろえると、同じ大きさの1個分で数えられる
1個分の大きさをそろえるには、分母を同じ数にする必要があります。
2と3のどちらでも割り切れる数を探すと、6が見つかります。つまり、どちらも6等分の世界で考えることになります。
1/2 は、分子と分母に3をかけて3/6になります。1/3 は、分子と分母に2をかけて2/6になります。図の青い部分が3/6、オレンジの部分が2/6にあたります。
分子と分母に同じ数をかけても、分数の大きさそのものは変わりません。
棒の2等分・3等分をさらに細かく分けると、どちらも6等分になります。もとの1/2は6等分のうち3つ分、1/3は6等分のうち2つ分にあたります。
これで、どちらの分数も「棒を6等分した1個分」を単位として数えられるようになりました。
この、分母をそろえる操作を通分と呼びます。分母は、公倍数の中でいちばん小さい数（最小公倍数）にそろえると、あとの計算がらくになります。
通分すると、はじめて足せる
1個分の大きさがそろったので、あとは分子どうしを足すだけです。
3/6 と 2/6 を足すと、3+2で5、分母はそのまま6なので、5/6になります。
1/2 + 1/3 = 5/6ということです。
分母をそろえたら、あとは分子どうしを足すだけです。
通分と約分は、分数の計算のなかで何度も出てくる考え方です。
ポイント
- 分母は「全体をいくつに分けたか」、分子は「そのうちいくつ分か」を表しています。
- 分母がちがう分数は、1個分の大きさがちがうため、そのままでは足せません。
- 分母を同じ数にそろえる操作が通分です。ふつうは最小公倍数を使うと計算がらくになります。
- 通分してから、分子どうしを足します。
練習問題
【練習問題】①
1/4 + 2/4 を計算してください。
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答え：3/4
分母がすでにそろっているので、分子どうしをそのまま足します。1+2で3、分母はそのまま4なので、3/4になります。
【練習問題】②
1/3 + 1/4 を計算してください。
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答え：7/12
3と4の最小公倍数は12です。1/3は分子・分母に4をかけて4/12、1/4は分子・分母に3をかけて3/12になります。4/12と3/12を足すと7/12になります。
【練習問題】③
1/4 + 1/12 を計算してください。
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答え：1/3
4と12の最小公倍数は12です。1/4は分子・分母に3をかけて3/12、1/12はそのままです。3/12と1/12を足すと4/12になります。4/12は分子・分母を4でわると1/3になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
1/2 + 1/3 + 1/4 を計算してください。答えは帯分数で表してください。
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答え：1と1/12
まず見るのは、3つの分母の2・3・4です。分数が3つあっても、1個分の大きさをそろえる必要があるのは2つのときと同じなので、3つの分母すべてで割り切れる数を探します。
4は2で割り切れるので、4の倍数にしておけば2の分母もそろいます。あとは3と4の最小公倍数を考えればよく、12になります。
1/2は分子・分母に6をかけて6/12、1/3は4をかけて4/12、1/4は3をかけて3/12です。どれも「12等分した1個分」で数えているので、分子どうしをまとめて足せます。6+4+3で13なので13/12になります。
13/12は12/12と1/12に分けられ、12/12は1なので、帯分数では1と1/12です。
【発展問題】②
1と1/2 + 2と2/3 を計算してください。答えは帯分数で表してください。
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答え：4と1/6
まず見るのは、帯分数が「整数」と「分数」を合わせた数だという点です。1と1/2は1+1/2、2と2/3は2+2/3のことなので、整数どうし・分数どうしに分けて足せます。
整数の部分は1+2で3です。分数の部分は、2と3の最小公倍数6で通分して、1/2が3/6、2/3が4/6になり、3/6+4/6で7/6になります。
7/6は6/6と1/6に分けられ、6/6は1なので、整数の部分の3にくり上げます。3+1で4、残りが1/6なので、4と1/6です。
帯分数をいったん仮分数に直して計算しても、同じ答えになります。1と1/2は3/2、2と2/3は8/3で、6にそろえると9/6と16/6、合わせて25/6です。25/6を帯分数に直すと4と1/6になります。
まとめ
分母がちがう分数をそのまま足せないのは、分母によって「1個分の大きさ」がちがうためです。
分母を最小公倍数にそろえてから分子どうしを足すことで、正しい答えが出せます。
分母をそろえるという操作は、見た目の数字を変えているだけで、もとの分数が表す量そのものは変えていません。
この通分の考え方は、分数のひき算や、分数のわり算など、ほかの分数計算にもつながっていきます。