帯分数と仮分数は、同じ量の書き方ちがい
2と1/3 という分数があります。
これを別の形に書き直すと、7/3 になります。
書き方は変わりましたが、表している量は同じで、数直線の上ではまったく同じ場所を指しています。
2と1/3 のように整数と分数がくっついた形を帯分数、7/3 のように分子が分母と同じか、それより大きい形を仮分数といいます。
同じ量に2通りの名前と書き方があるだけなので、行き来のしかたが分かれば、どちらでも自由に表せます。
帯分数を仮分数にする なぜ「かけてたす」なのか
帯分数を仮分数に直すときは、整数の部分を分数の仲間に入れていきます。
2と1/3 の「2」は、1が2つ分のことです。
1を1/3のピースにそろえると、1つの1の中に1/3が3個入っています。
なので1が2つ分では、1/3が3×2で6個ぶんになります。
ここに、もともとあった分子の1個（1/3が1個）を足すと、全部で1/3が7個です。
1/3が7個ということは、そのまま7/3のことです。
ここまでを式で書くと、整数の2に分母の3をかけて6、それに分子の1を足して7。
この7が分子になり、分母の3はそのままで7/3です。
かけ算をするのは整数を「1/3が何個か」に直すため、たし算をするのはもとの分子をその個数に加えるためです。
「整数×分母＋分子」を分母の上にのせるという手順は、この個数の数え方をそのまま式にしたものです。
仮分数を帯分数にする なぜ「わってあまり」なのか
逆に、仮分数を帯分数に直すときは、1/3のピースを整数にまとめ直します。
7/3 は、1/3が7個集まった分数です。
1/3は3個そろうと、ちょうど1になります。
そこで7個を3個ずつ束ねていくと、1が2つできて、1/3が1個だけ余ります。
束ねる作業は、7個を3個ずつ分ける、つまり7÷3のわり算そのものです。
7÷3＝2あまり1なので、束にできた2が整数の部分、束にできず余った1が分子に残ります。分母は3のまま変わりません。
まとめると、7÷3＝2あまり1 から 2と1/3 になります。
ここで出てくる「あまり」は、わり算で分けきれずに残る数と同じものです。あまりがそのまま分子になる、と考えると分かりやすいです。
ポイント
- 帯分数→仮分数は「整数×分母＋分子」を分母の上にのせます。整数を1/3が何個かに直して、分子を足すだけです。
- 仮分数→帯分数は「分子÷分母」をして、商が整数の部分に、あまりが分子になります。分母はそのままです。
- どちらも、1が分母の個数ぶんのピースでできている、という同じ見方から来ています。
練習問題
【練習問題】①
3と2/5 を仮分数に直してみましょう。
タップで答えを見る
答え：17/5
整数の3に分母の5をかけて15、それに分子の2を足して17になります。分母は5のままなので、17/5です。
【練習問題】②
23/4 を帯分数に直してみましょう。
タップで答えを見る
答え：5と3/4
23÷4＝5あまり3なので、商の5が整数の部分、あまりの3が分子になります。分母は4のままです。
【練習問題】③
4と1/3 と 14/3 では、どちらが大きいですか。
タップで答えを見る
答え：14/3 のほうが大きいです
4と1/3 を仮分数に直すと、4×3＋1＝13 で 13/3 になります。分母のそろった 13/3 と 14/3 をくらべると、1/3が13個と14個なので、14/3 のほうが1個分だけ大きいです。
分母をそろえてしまえば、あとは分子の個数をくらべるだけなので、大小がすぐに分かります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
分母が7の仮分数のうち、帯分数に直すと「3と◯/7」の形になるものは、何個ありますか。
タップで答えを見る
答え：6個（22/7、23/7、24/7、25/7、26/7、27/7）
最初に見るのは、「3と◯/7」の3と◯がどこから出てくるかです。仮分数を帯分数に直すときは分子÷7をするので、3はわり算の商、◯はあまりにあたります。
つまり、分子を7でわって「3あまり◯」になる数をさがせばよいことになります。あまりが0だと、分子は21で、21/7はちょうど3という整数になってしまい、帯分数の形にはなりません。なので◯に入るのは1以上です。
いっぽう、わり算のあまりは、わる数より小さい数になります。あまりが7になると、1/7がもう7個そろって1が束にでき、整数の部分が1増えて4になってしまうためです。
こうして◯に入るのは1から6までの6通りで、分子は 7×3＋1＝22 から 7×3＋6＝27 までの6個になります。
【発展問題】②
(1) 2と1/3 と 1と1/6 を、それぞれ仮分数に直しましょう。
(2) 2と1/3 ÷ 1と1/6 を計算しましょう。
タップで答えを見る
答え：(1) 7/3 と 7/6 (2) 2
(1) 2と1/3 は、2×3＋1＝7 で 7/3 です。1と1/6 は、1×6＋1＝7 で 7/6 です。
(2) 最初に見るのは、帯分数のままではわり算の手順が使えないところです。そこで(1)で直した仮分数を使って、7/3 ÷ 7/6 として計算します。
分数のわり算は、わる数をひっくり返してかけるので、7/3×6/7 になります。7どうしを約分すると 6/3 が残り、6/3＝2 です。
答えが2でいいかは、1と1/6 を2つ分たしてみると確かめられます。1と1/6＋1と1/6 は 2と2/6 で、2/6 を約分すると 2と1/3 になり、わられる数とぴったり同じになります。
まとめ
帯分数と仮分数は、同じ量を2通りに書いたものでした。
行き来のしかたは、帯分数から仮分数へは「整数×分母＋分子」、仮分数から帯分数へは「分子÷分母のあまり」の2つだけです。
どちらの向きも、1が分母の個数ぶんのピースに分かれている、という同じ考え方でつながっています。
手順を忘れたときは、まず「1/3のようなピースが何個あるか」で数えてみてください。
数え方さえ思い出せれば、式はそこから組み立てられます。