多角形の内角の和で「−2」をする理由
多角形の内角の和を求めるとき、「180 × (頂点の数 － 2)」という式を習います。
でも、なぜわざわざ「2」を引くのか、ちょっと気になりますよね。
今回は、図形を三角形に切り分けながら、この「－2」の意味を整理してみます。
多角形の中に隠れている三角形を数えてみる
多角形の内角の和を知るのに、いちばん手っ取り早い方法があります。その図形の中に「三角形が何個隠れているか」を探すことです。
三角形の内角の和は180°。もし図形の中に三角形が2個あれば、180 × 2。3個あれば 180 × 3 になるというわけです。
実際に、一つの頂点から対角線を引いて、図形を三角形に分けてみましょう。
- 四角形（頂点4つ） → 三角形は 2個
- 五角形（頂点5つ） → 三角形は 3個
- 六角形（頂点6つ） → 三角形は 4個
ここで一つの「きまり」が見えてきますよね。
三角形の数は、いつでも頂点の数よりも2つ少ないということです。
この「いつでも2つ少ない」という関係が、公式にある「－2」につながっています。
頂点の数と三角形の数の「きまり」を見つける
では、なぜ三角形の数は、きまって「頂点の数 － 2」になるのでしょうか。
その理由は、対角線の引き方にあります。
多角形の「一つの頂点」から対角線を引くとき、線が引けない相手が3つあります。
それは「自分自身」と、その「両隣にある2つの頂点」です。
両隣に線を引くと、それは対角線ではなく「辺」になってしまいます。新しく図形を分ける線としては使えないんですね。
そのため、頂点がいくつあっても、そこから引ける対角線の本数は (頂点の数 － 3) 本になります。
そして、三角形の数は、対角線の本数よりも常に1つ多く切り分けられます。（対角線を1本引ける四角形は三角形2つに、2本引ける五角形は三角形3つに、3本引ける六角形は三角形4つに切り分けられますね。）
この (頂点の数 － 3) + 1 という計算の結果、三角形の数は (頂点の数 － 2) 個になるのです。
これが、多角形の内角の和を求めるときに「2」を引く理由です。
ポイント
- 多角形は、一つの頂点から引く対角線で「三角形」に分けられる。
- 切り分けられる三角形の数は、いつでも（頂点の数 － 2）個。
- だから、内角の和は 180 × （頂点の数 － 2） で求められる。
練習問題
【練習問題】①
七角形の内角の和は何度ですか。
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答え：900度
七角形は一つの頂点から対角線を引くと、頂点の数より2つ少ない5個の三角形に分けられます。三角形の内角の和は180度なので、180×5で900度になります。
【練習問題】②
ある多角形の一つの頂点から対角線を引いたら、三角形が6個に分けられました。この多角形は何角形で、内角の和は何度ですか。
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答え：八角形、内角の和は1080度
三角形の数は、いつでも頂点の数より2つ少なくなります。三角形が6個なら、頂点は6+2で8個なので八角形です。内角の和は180×6で1080度になります。
【練習問題】③
内角の和が1440度になる多角形があります。この多角形の一つの頂点からは、対角線を何本引けますか。
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答え：7本
内角の和が1440度なので、三角形は1440÷180で8個に分けられています。三角形の数は頂点の数より2つ少ないので、頂点は8+2で10個、十角形です。一つの頂点から対角線を引けない相手は「自分」と「両隣の2つ」の3つなので、引ける対角線は10−3で7本になります。
まとめ
「180 × (頂点の数 － 2)」という式。
三角形に切り分けていく過程をたどると、なぜ「2」を引くのかがすっと見えてきますよね。
公式の意味を一度たどってみると、数字のつながりが面白く感じられるかもしれません。