三角形の高さは「外」にあってもいい！平行四辺形から考える高さの正体
「底辺 × 高さ ÷ 2」
三角形の面積の公式って、同じ形の三角形をひっくり返して2つ合わせるとできる平行四辺形の面積を半分にしたものなんです。
半分にするから、÷2なんです。
この仕組みは、パズルがカチッとはまるような面白さがありますよね。
でも――
ちょっと形が崩れた三角形、たとえば頂点が横にズレた「鈍角三角形」になると、急に手が止まりませんか？
「え、高さどこ？」
「図形の中に線が引けないんだけど……」
そんなふとした違和感を、今回は「平行四辺形」の力を借りてスッキリさせていきます。
いったん「平行四辺形」に戻してみる
今、目の前にある「高さがどこか分からない三角形」を、もう一つ用意して合体させてみます。
三角形の面積を出すには、まず「復元した平行四辺形の面積」が分かればいいわけです。
すると、こんなふうに平行四辺形ができあがります。
平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」で出せますよね。
じゃあ、この「高さ」さえ分かれば、元の三角形の面積も出せるはずです。
「高さ」の正体は、どこで測っても変わらない垂直な距離
平行四辺形の高さとは、底辺と、それに平行な上の辺のあいだを“まっすぐ（垂直）”に結んだ長さのことです。
平行線の間隔は、線をどこまで延長しても、どの場所で測っても、常に一定であるというルールがあります。
たとえるなら、平行な2本の線は真っ直ぐなレール。
だから、わざわざ図形の中に定規を差し込まなくても、底辺の線を外側に伸ばして、そこで「垂直な距離」を測っても、高さの数値は全く変わらないんです。
三角形の中にうまく垂直な線が引けない場合は、高さが外に出るのはむしろ自然なことなんです。
「三角形の高さが外にある」というあの不思議な感覚。
それは、平行線の間隔を測るために、「定規を置きやすい場所」にメモリを置いていただけの状態だったんですね。
三角形になっても「高さの正体」は変わらない
最後は、合体させた平行四辺形をもう一度半分に割って、三角形に戻してみます。
形が三角形になっても、高さは1ミリも変わりません。
この図を見てください。
底辺㋐㋑を右側に点線で伸ばして、てっぺん㋒から真っ直ぐ下ろした垂直な線㋒㋔。これがこの三角形の「高さ」です。
高さとは図形の一部（パーツ）ではなく、あくまで底辺という基準線から、てっぺんという地点がどれだけ離れているかを示す距離のデータに過ぎません。
そう捉えると、外に飛び出した高さの点線も、「幅を測るためのメモリを外に置いているだけなんだな」と納得して眺められる気がします。
ポイント
- 三角形を2つ合体させると平行四辺形になる。
- 平行四辺形の高さは、底辺と、それに平行な辺を垂直に結んだ最短距離。
- 平行線の幅はどこでも一定なので、高さを測る場所は「外側」でも構わない。
まとめ
三角形の高さが図形の外側に飛び出す事実は、一見すると不自然に感じるかもしれません。
でも、「高さ＝内側にあるパーツ」という固定観念を捨てて、「高さ＝平行な線の間隔」という視点を持つと、図形の世界は一気に自由になります。
補助線というレールを敷いて、図形の外側にまで視界を広げてみる。
そうすることで、今まで見えなかった「高さの正体」がくっきりと浮かび上がってきます。
暗記していた公式の裏側にある、こうした論理のつながりに気づけた時、算数はただの計算から、最高にスッキリするパズルへと変わるはずです。