なぜ平行四辺形の面積は「底辺×高さ」なの？
平行四辺形の面積公式は、「底辺 × 高さ」です。
でも、よく考えると少し不思議ですよね。
長方形なら「たて × よこ」で求められるのはわかります。しかし、平行四辺形は辺が斜めに傾いているものもあります。
それなのに、なぜ長方形と同じように「底辺 × 高さ」で面積が求められるのでしょうか？
その理由は、図形を切って並べ替える「等積変形（とうせきへんけい）」という考え方にあります。
平行四辺形を切って長方形に作り変える流れを見ながら、整理してみます。
図のような平行四辺形があります。
まずは、左下の頂点Dから、上の辺へ向かって垂直に線を引いてみます。
この線が上の辺とぶつかった点を「E」としましょう。
点Dから点Eまでの長さが、この平行四辺形の「高さ」です。
ここで大切なのは、高さは「斜めの辺の長さ」ではないということです。
面積を考えるときの高さとは、「底辺に対してまっすぐ垂直な距離」のことを指します。
左側の三角形を切り取る
次に、今引いた線DEに沿って図形を切ってみます。
すると、平行四辺形は左側の直角三角形ADEと、残った本体部分の2つに分かれます。
ここで、本体側にできた角には、新しく「F」という名前をつけておきます。
切り取った三角形を右へ移動する
今度は、切り取った三角形ADEを、そのまま右側へスライドさせてみましょう。
図のように、三角形を右端にそろえてくっつけます。
長方形になる
三角形を移動して合体させると、全体の形がきれいな長方形になります。
平行四辺形は「切って並べ替えるだけ」で、長方形として考えられるのです。
ここで大事なのは、切って移動しただけなので、図形のパーツは1つも増えたり減ったりしていないということです。
形は変わっても、面積そのものは変わりません。
長方形になれば公式は簡単
並べ替えたあとの長方形を見てみましょう。
・横の長さ → 元の平行四辺形の底辺
・縦の長さ → 元の平行四辺形の高さ
になっています。
たとえば、高さ：4cm、底辺：5cmなら「4 × 5 ＝ 20」となり、面積は20cm²です。
平行四辺形の面積が「底辺 × 高さ」になるのは、切って並べ替えると長方形として考えられるからなんですね。
ポイント
・平行四辺形は、切って並べ替えると長方形になります
・高さは「垂直な距離」のことです
・形が変わっても、面積は変わりません
・だから面積公式は「底辺 × 高さ」になります
練習問題
【練習問題】①
下の図で、この平行四辺形の面積は何cm²ですか？
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答え：40cm²
平行四辺形の面積は「底辺×高さ」で求められます。底辺8cm、高さ5cmなので、8×5＝40で、40cm²になります。
【練習問題】②
下の図の平行四辺形の面積は何cm²ですか？
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答え：24cm²
図には斜めの辺5cmも書かれていますが、面積に使うのは底辺に垂直な高さ4cmのほうです。底辺6cm、高さ4cmなので、6×4＝24で、24cm²になります。
【練習問題】③
下の図の平行四辺形は、面積が36cm²です。高さ㋐は何cmですか？
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答え：4cm
面積は「底辺×高さ」なので、高さは「面積÷底辺」で求められます。面積36cm²、底辺9cmなので、36÷9＝4で、高さ㋐は4cmになります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図の平行四辺形ABCDについて、次の問いに答えましょう。
(1) 辺ABを底辺とみたとき、この平行四辺形の面積は何cm²ですか。
(2) 辺ADを底辺とみたとき、高さ㋐は何cmですか。
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答え：(1) 120cm² (2) 12cm
(1)は、底辺と高さのペアを図から見つけるところからです。辺ABの15cmと、そこへ垂直に引かれた8cmの線が組になっています。底辺15cm、高さ8cmなので、15×8＝120で、面積は120cm²です。
(2)で見るのは、辺ADに垂直に引かれた線㋐です。辺ADを底辺とみると、㋐がその高さになります。面積は(1)で出した120cm²なので、高さは「面積÷底辺」で求められます。120÷10＝12で、㋐は12cmです。
同じ図形を切ったり動かしたりしていないので、どちらの辺を底辺に選んでも面積は120cm²のまま変わりません。底辺が15cmから10cmに短くなった分、高さのほうは長くなります。高さは辺そのものの長さではなく、底辺からの垂直な距離のことなので、辺ADの10cmより長い12cmになることもあります。
まとめ
平行四辺形の面積が「底辺×高さ」で求められるのは、切って並べ替えると長方形になるからでした。
左側の三角形を右へ動かしただけなので、形は変わっても広さはそのままです。
気をつけたいのは「高さ」で、斜めの辺の長さではなく、底辺に対してまっすぐ垂直な距離のことを指します。
斜めに見える平行四辺形も、長方形と同じように面積を考えられる、というのが面白いところですね。