四角形に対角線を2本引くと、三角形が4つに分かれます
四角形ABCDに、向かい合う頂点どうしを結ぶ線を2本引きます。
対角線ACと対角線BDです。この2本が交わったところを点Oとすると、四角形の中が三角形4つに分かれます。
4つの三角形は、形も大きさもそろっていません。上の三角形は大きく、下の三角形はかなり小さくなっています。
この記事では、4つを場所で呼び分けます。上が三角形ABO、右が三角形BCO、下が三角形CDO、左が三角形DAOです。
形はちがっていても、点Oのまわりで使っているものは共通です。対角線ACは点OでAOとOCに分かれ、対角線BDはBOとODに分かれます。4つの三角形は、この分かれた部分を辺として使っています。
このバラバラな4つの面積には、はっきりした関係があります。向かい合う2つをかけ算すると、どちらの組も同じ数になります。
向かい合う2つをかけると、同じ数になります
4つの三角形の面積を、上6・右3・下1・左2としてみます。
向かい合っているのは、上と下の組、それに左と右の組です。
上×下は6×1で6。
左×右は2×3で6。
どちらも6でそろいました。6と1、2と3という、見た目にはまるでちがう数の組なのに、かけ算にすると同じ数になります。
四角形の形を変えても、対角線が中で交わっているかぎり、この関係は変わりません。
対角線ACを底辺と見ると、比が見えてきます
なぜそろうのかは、対角線ACに注目すると見えてきます。
図のように、AOとOCの長さの比は2:1です。
まず、上の三角形と右の三角形をくらべます。この2つは頂点Bが共通で、底辺はAOとOC。同じ直線AC上に並んでいます。
三角形の面積は底辺×高さ÷2で求められるので、高さが同じなら面積の比は底辺の比とそのまま同じになります。
点Bから直線ACまでの高さは、上でも右でも同じです。だから面積の比は底辺の比と同じ2:1。実際、6:3は2:1です。
次に、左の三角形と下の三角形。こちらは頂点Dが共通で、底辺はやはりAOとOCです。
点Dから直線ACまでの高さも共通なので、こちらの比も2:1。左2と下1で、たしかに2:1になっています。
同じ2:1が、ACの上側と下側の2か所に出てきました。
同じ比が2か所に出るので、かけ算がそろいます
ここまでで分かったことを、言いかえてみます。
上は右の2倍。左は下の2倍。同じ「2倍」が2か所にあります。
この2倍を使って、上×下を書きかえてみます。
上は右の2倍です。だから上×下は「右×2×下」と同じ意味になります。
左×右も、同じようにします。
左は下の2倍です。だから左×右は「下×2×右」になります。
右×2×下と、下×2×右。
かける順番がちがうだけで、中身はまったく同じ3つの数です。
だから上×下と左×右は、計算しなくても同じ数になると分かります。
2倍のときだけの話ではありません。AOとOCの比が3:1なら「3倍」が2か所に出てきますし、比がどう変わっても、上が右の何倍かという数と、左が下の何倍かという数はいつも同じになります。
3つ分かれば、残りの1つが求められます
上×下＝左×右という関係は、面積を求めるときにそのまま使えます。
4つのうち3つの面積が分かっていれば、残りの1つはわり算で出せます。
たとえば、上が6、右が3、下が1と分かっているとします。
上×下は6×1で6。左×右も6になるはずなので、左は6÷3で2です。
さきほどの図の左の面積2と、ちゃんと一致しました。
どの1つが分からない場合でも、やることは同じです。向かい合う組をかけて、その答えを、分かっているほうの数でわります。
ポイント
- 四角形に対角線を2本引くと、交点Oのまわりに三角形が4つできます。
- 向かい合う2つの面積をかけると、どちらの組も同じ数になります（上×下＝左×右）。
- 理由は、対角線の分かれ方の比が、上と右のあいだにも、左と下のあいだにも同じように出てくるからです。
- 4つのうち3つが分かっていれば、残りの1つはわり算で求められます。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、㋐の面積を求めましょう。
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答え：4
向かい合うのは、上と下の組、左と右の組です。㋐は左の位置にあるので、向かい合う相手は右の5です。上×下は10×2で20。左×右も20になるので、㋐は20÷5で4です。
【練習問題】②
下の図で、㋐の面積を求めましょう。
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答え：4
㋐は左の位置にあるので、向かい合う相手は右の6です。上×下は8×3で24。左×右も24になるので、㋐は24÷6で4です。
【練習問題】③
下の図で、㋐の面積を求めましょう。
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答え：9
㋐は右の位置にあるので、向かい合う相手は左の4です。上×下は12×3で36。左×右も36になるので、㋐は36÷4で9です。
【練習問題】④
下の図で、対角線ACは交点Oで AO:OC＝3:1 に分かれています。㋐の面積を求めましょう。
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答え：4
上の三角形と㋐は頂点Bが共通で、底辺はAOとOCです。高さが同じなので面積の比は底辺の比と同じ3:1になります。上の12が比の3つ分にあたるので、比の1つ分は12÷3で4。㋐は比の1つ分なので4です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図で、四角形全体の面積は36です。㋐と㋑の面積を、それぞれ求めましょう。
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答え：㋐9、㋑3
まず、面積が2つとも分かっている上と右に注目します。上と右は頂点が共通で、底辺は、左上の頂点から右下の頂点へ引いた対角線が、交点で分かれた2つの部分です。高さが同じなので、面積の比は底辺の比と同じになります。
上:右は18:6で3:1なので、その対角線は交点で3:1に分かれています。左と下も、頂点が共通で、同じ対角線の2つの部分を底辺にしています。左:下も同じ3:1になります。
全体の36から上と右を引くと、左と下の合計は36−18−6で12です。この12を3:1に分けると、比の1つ分は12÷4で3。左の㋐は3つ分で9、下の㋑は1つ分で3です。
向かい合う組のかけ算でも確かめられます。上×下は18×3で54、左×右は9×6で54で、同じ数になっています。
【発展問題】②
下の図の四角形ABCDは、辺ABと辺DCが平行な台形です。
(1) ㋐と㋑の面積が等しくなる理由を説明しましょう。
(2) 台形ABCDの面積を求めましょう。
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答え：(1) 三角形ABDと三角形ABCの面積が等しく、どちらからも上の三角形を引いた残りが㋐と㋑だから (2) 25
(1) 最初に見るのは、辺ABを底辺にした2つの大きな三角形、三角形ABDと三角形ABCです。
頂点DとCは、どちらもABと平行な辺DCの上にあります。平行な2本の線のあいだのはばはどこでも同じなので、2つの三角形は底辺も高さも同じで、面積も同じになります。
三角形ABDは上と㋐を合わせた形、三角形ABCは上と㋑を合わせた形です。同じ面積から、どちらにも入っている上の三角形を引くと、残りの㋐と㋑も同じ面積になります。
(2) 対角線で分かれた4つの三角形では、向かい合う2つの面積をかけると同じ数になります。上×下は4×9で36なので、㋐×㋑も36です。
(1)から㋐と㋑は同じ数なので、同じ数を2回かけて36になる数をさがします。6×6は36なので、㋐も㋑も6です。
台形ABCDの面積は、4つを合わせて4＋9＋6＋6で25です。
台形の対角線が作る4つの三角形の関係は、台形の対角線が分ける4つの三角形の面積の関係でもくわしく整理しています。
まとめ
四角形の対角線が作る4つの三角形は、形も大きさもそろっていません。
それでも、向かい合う2つをかけ算すると、どちらの組も同じ数になります。
理由をたどってみると、対角線が交点でどう分かれているかという1つの比が、上と右のあいだにも、左と下のあいだにも同じように効いていた、というだけの話でした。
なお、平行四辺形のように対角線がおたがいの真ん中で交わる形では、AOとOCの比も、BOとODの比も1:1になります。
どちらも1倍なので4つの三角形の面積が全部そろい、かけ算の関係も当たり前のように成り立ちます。
形がどうであっても、4つのうち3つが分かれば、残りの1つは計算で出せます。