角が同じ三角形は、相似でなくても面積の比が出せる
大きい三角形ABCの中に、辺AB上の点Dと、辺AC上の点Eをとります。
点DはABのまん中、点EはACを1：2に分ける場所です。
そこにできる小さい三角形ADEと、もとの三角形ABC。
2つの大きさはかなりちがいますが、頂点Aの角はぴったり共有しています。
ADとAEの縮み方はそろっていないので、相似ではありません。
それでも、共有する角Aを手がかりにすると、相似でなくても面積の比が出せます。
今回は、同じ大きさの三角形を★1つと決めて、何個分あるかを数えてみます。
三角形ADEを★1つとすると、三角形ABEは★2つ
小さい三角形ADEを、面積の基準にします。これを★1つとします。
ここで、三角形ADEと三角形DBEを見比べます。
2つは頂点Eが共通で、底辺ADとDBは、同じ直線AB上にあります。
三角形の面積は底辺×高さ÷2。
だから高さが同じなら、面積の比は底辺の比になります。
Eから直線ABまでの高さは、三角形ADEでも三角形DBEでも同じです。
（このEからの高さは、三角形DBEでは底辺DBの外側にきます。でも高さが図形の外にあっても、面積の考え方は変わりません。）
高さが同じで、底辺ADとDBは1：1。
だから、三角形DBEの面積も★1つです。
合わせると、三角形ABE（＝三角形ADE＋三角形DBE）は★2つ分になります。
三角形ABCは★6つ分
次に、三角形ABEと三角形EBCを見比べます。
2つは頂点Bが共通で、底辺AEとECは、同じ直線AC上にあります。
Bから直線ACまでの高さは、三角形ABEでも三角形EBCでも同じです。
高さが同じなら、面積の比は底辺の比。
AEとECは1：2なので、三角形EBCの面積は、三角形ABEの2倍。
三角形ABEは★2つだったので、三角形EBCは★4つ分です。
これで、大きい三角形ABCの中身が、ぜんぶ★で数えられました。
ABEの★2つと、EBCの★4つで、三角形ABCは★6つ分。
いちばん小さい三角形ADEは★1つ。
だから、三角形ADEと三角形ABCの面積の比は、1：6です。
★の数は、はさむ2辺の比のかけ算
★を数えた手順を、ふり返ってみます。
ABはADの2倍。だから三角形ABEは、三角形ADE（★1つ）の2つ分で★2つ。
ACはAEの3倍。だから三角形ABCは、三角形ABE（★2つ）の3つ分で★6つ。
2倍と3倍で、2×3＝6。
三角形ABCが★6つになったのは、このかけ算の結果でした。
つまり面積の比は、角をはさむ2辺がそれぞれ何倍になっているかを、かけ合わせれば出せます。
今回はADがABの2分の1、AEがACの3分の1。かけ合わせて6分の1です。
ここで使ったのは「角Aが共通」ということだけ。
もしADとAEが同じ縮み方なら、三角形ADEはABCをそのまま縮めた形になり、相似になります。
相似は、この数え方の中で、2つの比がそろった特別な場合にあたります。
ポイント
- 角を1つ共有する2つの三角形は、面積の比が、その角をはさむ2辺の比のかけ算で出せます。
- 同じ大きさの三角形（★）が何個分あるかを数えると、そのかけ算が見えてきます。
- 相似である必要はありません。共有する角と、その角をはさむ2辺に注目すれば使えます。相似は、2つの比がそろった特別な場合です。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、三角形ADEの面積は、三角形ABCの何分のいくつになりますか。
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答え：3分の1
図から、AD:DB＝2:1なのでAD:ABは2:3、AE:EC＝1:1なのでAE:ACは1:2です。角Aをはさむ2辺の比をかけ合わせると、(2×1):(3×2)＝2:6で、1:3になります。三角形ADEは三角形ABCの3分の1の面積です。
【練習問題】②
下の図で、三角形ABCの面積が40cm²のとき、三角形ADEの面積は何cm²ですか。
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答え：15cm²
図から、AD:DB＝1:1なのでAD:ABは1:2、AE:EC＝3:1なのでAE:ACは3:4です。面積の比は (1×3):(2×4)＝3:8。三角形ABCの面積40cm²の8分の3にあたるので、40×3/8＝15cm²になります。
【練習問題】③
下の図で、三角形ADEの面積は三角形ABCの何分のいくつになりますか。また、三角形ADEと三角形ABCは相似ですか。
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答え：面積は3分の1、相似ではありません
図から、AD:DB＝1:1なのでAD:ABは1:2、AE:EC＝2:1なのでAE:ACは2:3です。角Aをはさむ2辺の比をかけ合わせると、(1×2):(2×3)＝2:6で、1:3になります。三角形ADEは三角形ABCの3分の1の面積です。AD:ABが1:2、AE:ACが2:3で縮め方がそろっていないので、三角形ADEは三角形ABCを縮めたコピーにはなっておらず、相似ではありません。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図の三角形ABCで、AD:DB、BE:EC、CF:FAは、どれも1:2です。三角形ABCの面積が45cm²のとき、次の問いに答えましょう。
(1) 三角形ADFの面積は何cm²ですか。
(2) 三角形DEFの面積は何cm²ですか。
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答え：(1) 10cm² (2) 15cm²
(1) 三角形ADFと三角形ABCは、頂点Aの角を共有しています。まずそこを見ます。
AD:DB＝1:2なので、ADはABの3分の1です。CF:FA＝1:2なので、AFはACの3分の2になります。角Aをはさむ2辺の比をかけ合わせると、面積の比は (1×2):(3×3)＝2:9です。45cm²の9分の2にあたるので、45×2/9＝10cm²になります。
(2) 三角形DEFを直接求めようとすると手がかりがありません。そこで、三角形ABCから、すみにある3つの三角形を引いて残りを出します。
三角形BEDは、頂点Bの角を三角形ABCと共有しています。BDはBAの3分の2、BEはBCの3分の1なので、面積の比は (2×1):(3×3)＝2:9で、45×2/9＝10cm²です。
三角形CFEも同じで、頂点Cの角を共有しています。CFはCAの3分の1、CEはCBの3分の2なので、こちらも (1×2):(3×3)＝2:9となり、10cm²になります。
すみの3つを合わせると、10＋10＋10＝30cm²です。三角形ABCは、この3つと真ん中の三角形DEFに、重なりも余りもなく分かれています。残りが三角形DEFなので、45－30＝15cm²です。
3つのすみがどれも同じ10cm²になったのは、3辺の分け方がどれも1:2でそろっているためです。分け方がばらばらなら、すみの3つも別々の大きさになります。
まとめ
角を1つ共有していれば、相似かどうかに関係なく、面積の比が出せます。
やったことは、同じ大きさの三角形を★1つと決めて、何個分あるかを数えただけ。
ADとDBが1：1だから三角形ABEは★2つ、AEとECが1：2だから三角形EBCは★4つ、合わせて三角形ABCは★6つ。三角形ADEは★1つで、1：6でした。
数えた★の数は、角をはさむ2辺の比をかけた数になっています。
相似は、その2つの比がそろった特別な場合です。
共有する角をはさむ2辺の比をかけ合わせる。
それが、そのまま面積の比になります。