向きが違っても、本当に「同じ」？
目の前に並んだ、2つの三角形。
向きが全然違うので、パッと見ただけでは本当に同じ形なのか判断がつきません。
裏返したり回転させたりすれば、ぴったり重なるかもしれない。
でも、算数の世界では「なんとなく同じ」ではなく、確実に同じと言い切れる根拠が必要です。
見た目に頼らず、「絶対に重なる」と言い切るためのルール。
それが、三角形の合同条件です。
形を固定する「3つの条件」
三角形には、3つの辺と3つの角、合計6つのパーツがあります。
一見、全部を調べないと不安に思えますが、実はたった3つの情報で形は完全に決まります。
一部が決まると、残りはもう自由に動けなくなります。
三角形は「これ以上変えられない形」になるわけです。
その3つの条件を見ていきましょう。
三辺相当
1つ目は、最もシンプルな条件です。
3本の辺の長さがすべて決まると、その三角形の形はもう変えられません。
長さが決まった3本の辺は、それ以外の組み合わせではつながらないからです。そもそも3本の長さの組み合わせによっては三角形が作れないこともありますが、作れる場合は形が1つに決まります。
辺の長さが決まれば、角度も自動的に決まります。
できる三角形は1通りに確定します。
二辺一角相当
2つ目は、少し条件が絞られたケースです。
2本の辺の長さと、その2本の間の角を固定します。
すると、2本の辺の開き方が完全に決まり、残りの1辺の長さも自然に決まります。
ここでも三角形の形は1つに決まります。
※「間の角」であることが大切で、ここが違うと形は1つに決まりません。
一辺二角相当
最後は、少し不思議に感じるかもしれません。
まず、1本の辺の長さを決めます。
その両端から、それぞれ決まった角度で線を伸ばします。
2本の直線は、必ず1点で交わります。
条件が同じなら、その交点も必ず同じ場所になります。
頂点の位置が1つに決まるので、三角形の形も完全に固定されます。
ポイント
- 「合同」とは、向きや位置が違っても「形も大きさも完全に同じ」こと。
- 三角形が合同と言えるのは、3つの条件のどれかを満たしたとき。
- 3つの条件とは、①三辺相当、②二辺一角相当、③一辺二角相当。このどれかを満たしていれば合同といえます。
練習問題
【練習問題】①
2つの三角形があります。3つの辺の長さが、それぞれぴったり同じでした。この2つの三角形は合同といえますか。あてはまる合同条件の名前も答えてください。
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答え：合同といえます。条件は三辺相当（3組の辺がそれぞれ等しい）です。
3本の辺の長さがすべて決まると、三角形の形は1通りに決まります。辺の長さがそろっていれば、できる三角形も同じ形になります。
【練習問題】②
2つの三角形で、2本の辺の長さがそれぞれ等しく、さらに1つの角の大きさも等しいことが分かっています。この2つの三角形は必ず合同といえるでしょうか。合同といえるためには、その角はどこの角である必要がありますか。
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答え：等しい角が、その2本の辺の間の角であれば、合同といえます。条件は二辺一角相当（2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい）です。
2本の辺とその間の角が決まると、辺の開き方が決まり、残りの1辺の長さも決まります。等しい角が間の角でないときは、形が1つに決まらないことがあるので、合同とは言い切れない場合があります。
【練習問題】③
2つの三角形で、1本の辺の長さが同じでした。さらに、その辺の両端にある2つの角の大きさも、それぞれ同じでした。この2つの三角形は合同といえますか。理由もあわせて答えてください。
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答え：合同といえます。条件は一辺二角相当（1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）です。
辺の両端から、それぞれ決まった角度で線を伸ばすと、2本の線は1点で交わります。条件が同じならその交点も同じ場所になるので、頂点の位置が決まり、三角形の形も決まります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図の四角形ABCDで、同じ印をつけた辺の長さは、それぞれ等しくなっています。
(1) 対角線BDを引いたとき、角ABDは何度ですか。
(2) ㋐の角度は何度ですか。
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答え：(1) 30° (2) 80°
まず、対角線BDを引きます。四角形が三角形ABDと三角形CBDの2つに分かれます。
この2つの三角形を見ると、AB＝CB、AD＝CD、そしてBDは両方が共有している辺です。3組の辺がそれぞれ等しいので、三辺相当で合同といえます。
合同な三角形では、対応する角も等しくなります。角ABDと角CBDは対応する角なので、60°をちょうど半分にした30°ずつです。これが(1)の答えです。
(2)は三角形ABDで考えます。角BADが110°、角ABDが30°なので、残りの角ADBは180－110－30で40°になります（三角形の内角の和は180°）。
角CDBも対応する角なので、同じ40°です。㋐は角ADBと角CDBを合わせた角なので、40＋40で80°になります。
まとめ
「なんとなく同じ」ではなく、「絶対に同じ」と言えること。
その違いを支えているのが、合同条件というルールです。
辺や角に印をつけていくと、バラバラだった情報が少しずつつながっていきます。形は同じでも大きさが違う場合は相似と呼ばれ、合同とは区別されます。
根拠があるからこそ、自信を持って言い切れる。三角形の合同のおもしろいところは、そこにあると思います。