三角形の面積はなぜ「底辺×高さ÷2」なの？
5㎝(底辺) × 4㎝(高さ) ÷ 2 = 10㎠
算数で必ず習う「底辺×高さ÷2」という公式。当たり前のように使っていますが、ふと「どうして半分にするんだろう？」と考えたことはありませんか？
長方形や正方形の面積は「縦×横」で済むのに、三角形になった途端に登場する「÷2」の存在。
子供の頃の私は、この「÷2」をただの決まり文句として暗記していました。でも、その理由を考え直してみると、図形を組み替えることで理由がすっきり見えてくる面白さがありました。
「同じ三角形をもう1つくっつける」と、理由がすっきり見えてきます。
同じ三角形を2つ並べると、見慣れた「四角形」が現れる
三角形の面積の正体を知る一番の近道は、同じ形の三角形を「もう一つ」用意することです。
図のように、全く同じ三角形をひっくり返して隣にくっつけてみてください。すると、三角形が綺麗な平行四辺形（あるいは長方形）に変わりました。
この平行四辺形の面積なら、「底辺×高さ」で求めることができますよね。
「÷2」は四角形を半分にしている証拠でした
ここで思い出してほしいのが、私たちが知りたかったのは「もとの三角形1つ分」の面積だということです。
「底辺×高さ」は、三角形2つ分を合わせた平行四辺形または長方形の面積。だから、最後に「÷2」をして半分に戻す必要があるんです。
「公式だから÷2をする」のではなく、「2つ合わせて四角形にしたから、あとで半分にする」。
どんなに角が鋭い三角形でも、直角がなくても、細長くても、この考え方は必ず通用します。
ポイント
- 同じ三角形を2つ用意して、隣に並べてみる。
- 2つ合わせると、面積が計算しやすい平行四辺形になる。
【深掘り】なぜ「平行四辺形」だと言い切れるの？
「同じ形をくっつければ四角形になるのは分かったけど、それが本当に『平行四辺形』なの？」という疑問です。
平行四辺形には、「向かい合う角どうしの大きさがそれぞれ同じになる」という性質があります。
そしてそれは、「向かい合う角どうしの大きさがそれぞれ同じなら平行四辺形である」ということでもあります。
図をじっくり見てみてください。
元の三角形にある角 ㋐・㋑・㋒と、ひっくり返して持ってきた相棒の角 ㋐・㋑・㋒。全く同じ図形なので、角の大きさも同じです。すると、出来上がった四角形の向かい合う角を見てみると……
- 左上の角（㋒）と、右下の角（㋒）が同じ。
- 左下の角（㋐＋㋑）と、右上の角（㋐＋㋑）が同じ。
「向かい合う角が同じ」というルールをクリアしていますよね。同じ三角形を反転させて組み合わせたからこそ、平行四辺形になるべくしてなった、ということです。
ポイント
平行四辺形の成立条件には他にも
- 2組の向かい合う辺（対辺）がそれぞれ平行
- 2組の向かい合う辺（対辺）の長さがそれぞれ等しい
などがありますが、これらも今回の「同じ三角形をくっつけた図」でイメージしやすいですね。
練習問題
【練習問題】①
下の図の三角形の面積は何㎠ですか？
タップで答えを見る
答え：20㎠
底辺×高さ（8×5＝40）は、同じ三角形を2つ合わせた平行四辺形の面積です。
三角形1つ分はその半分なので、40÷2で20㎠になります。
【練習問題】②
下の図のように、同じ三角形を2つ組み合わせて平行四辺形を作りました。もとの三角形1つの面積は何㎠ですか？
タップで答えを見る
答え：14㎠
同じ三角形を2つ合わせると平行四辺形になります。
その平行四辺形が28㎠なので、もとの三角形1つはその半分の14㎠です。
【練習問題】③
下の図の三角形の面積は30㎠です。高さは何cmですか？
タップで答えを見る
答え：5cm
三角形の面積は、底辺×高さを半分にした数です。
面積が30㎠なので、底辺×高さは2倍の60㎠。
底辺が12cmなので、60÷12で高さは5cmと分かります。
発展問題
ここからは、この記事の「底辺×高さ÷2」に、長方形の面積を組み合わせて考える問題です。求めたい三角形を直接ねらうのではなく、まわりから求めていく形になります。
【発展問題】①
下の図のように、たて6cm・よこ10cmの長方形ABCDがあります。辺AB上に点E、辺BC上に点Fをとりました。AEの長さは4cm、BFの長さは3cmです。
(1) 三角形AED、三角形EBF、三角形FCDの3つの面積を合わせると何㎠ですか。
(2) 三角形EFDの面積は何㎠ですか。
タップで答えを見る
答え：(1) 36㎠ (2) 24㎠
(1)まず、3つの三角形が長方形のどこにあるかを見ます。どれも長方形の角をふくんでいて、そこが直角になっています。
直角をはさむ2つの辺は、そのまま底辺と高さとして使えます。
分かっていない長さは、長方形の辺から引けば出てきます。ABが10cmでAEが4cmなので、EBは10－4で6cmです。BCが6cmでBFが3cmなので、FCは6－3で3cmになります。
あとは3つとも「底辺×高さ÷2」で計算します。
三角形AEDは、AEが4cm、ADが6cmなので、4×6÷2で12㎠。
三角形EBFは、EBが6cm、BFが3cmなので、6×3÷2で9㎠。
三角形FCDは、FCが3cm、DCが10cmなので、3×10÷2で15㎠。
合わせると、12＋9＋15で36㎠です。
(2)長方形ABCDの中は、三角形EFDと、(1)で出した3つの三角形の合わせて4つに分かれています。重なっている部分も、すきまもありません。
長方形の面積はたて×よこなので、10×6で60㎠です。
ここから3つ分の36㎠を引くと、60－36で24㎠。これが三角形EFDの面積になります。
三角形EFDは、底辺も高さも図から読み取れません。でも、まわりの3つはどれも直角をふくんでいて、底辺と高さがすぐ分かります。分かるほうを先に出して全体から引く、という順番にすると求められます。
まとめ
三角形の面積の公式にある「÷2」は、図形を2つ組み合わせて四角形を作るという発想から来ていました。
図形問題で面積が出てきたら、「これ、2つにしたら四角形にならないかな？」と考えてみると、糸口が見えることがあります。