高さが同じなら、三角形の面積は底辺の比で決まる
1つの三角形を、頂点Aから底辺の上にとった点Dまで線で結ぶと、三角形ABDと三角形ADCの2つに分かれます。
点Dを底辺の上で動かすと、左右の底辺の長さは変わります。
でも、頂点Aから底辺までの高さは、点Dをどこに動かしても変わりません。
底辺の長さだけが変わって、高さは同じままです。
このとき、2つの三角形の面積の比はどうなるのか。
高さがそろった三角形どうしを、底辺に注目してくらべてみます。
なぜ底辺の比が、そのまま面積の比になるのか
三角形の面積は底辺×高さ÷2で求められます。
2つの三角形で高さが同じなら、面積を決めているのは底辺の長さだけです。
高さも「÷2」も両方の三角形に共通なので、面積をくらべるときには差にひびきません。
残るのは、底辺の長さの違いだけです。
だから高さがそろった三角形では、底辺の比がそのまま面積の比になります。
実際の数で確かめる
底辺BDを4cm、底辺DCを6cm、高さは共通とします。
高さは2つの三角形で同じなので、ここでは仮に5cmとして面積を出してみます。
三角形ABDの面積は、4×5÷2で10cm²。
三角形ADCの面積は、6×5÷2で15cm²。
2つの面積の比は10:15。両方を5でわると2:3です。
これは、底辺の比4:6を簡単にした2:3と、ぴったり同じになりました。
高さを5cmではなく別の数にしても、2つの三角形で同じだけ変わるので、面積の比は2:3のまま動きません。
ポイント
- 高さが同じ三角形どうしは、面積の比が底辺の比とそのまま同じになります。
- 面積は「底辺×高さ÷2」で求められ、高さと÷2が共通なので、面積の差を生んでいるのは底辺の比だけです。
- 底辺が4cmと6cmで高さが同じなら、面積の比は 4:6＝2:3です。
練習問題
【練習問題】①
高さが等しい2つの三角形があります。底辺はそれぞれ3cmと5cmです。面積の比はいくつですか。
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答え：3:5
高さが同じ2つの三角形では、面積の比が底辺の比とそのまま同じになります。底辺が3cmと5cmなので、面積の比は3:5です。
【練習問題】②
下の図で、三角形ABDと三角形ADCの面積の比を求めましょう。
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答え：1:2
三角形ABDと三角形ADCは、頂点Aから底辺BCまでの高さが共通です。高さが同じなので、面積の比は底辺の比と同じになります。底辺はBD＝3cm、DC＝6cmなので、面積の比は3:6。3:6を3でわると1:2です。
【練習問題】③
高さが等しい2つの三角形があります。底辺の比は2:5で、底辺が短いほうの面積は8cm²です。底辺が長いほうの三角形の面積は何cm²ですか。
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答え：20cm²
高さが同じなので、面積の比は底辺の比2:5と同じです。底辺が短いほうは比の2にあたり、その面積が8cm²です。比の1つ分は8÷2で4cm²。長いほうは比の5つ分なので、4×5で20cm²です。
まとめ
高さがそろっている三角形は、底辺をくらべるだけで面積の大小や比が分かります。
面積の公式に数を入れて計算しなくても、底辺の比を見れば面積の比がそのまま読み取れます。
点Dを動かして底辺を変えても、高さが同じであるかぎり、この関係は変わりません。