台形に対角線を2本引くと、4つの三角形ができます
上底が4cm、下底が6cm、高さが5cmの台形ABCDがあります。辺ADと辺BCは平行です。
ここに対角線ACとBDを引くと、2本は台形の内側で交わります。その点をOとすると、台形の中が4つの三角形に分かれます。
線を引いただけなので、台形そのものの形も広さも変わっていません。変わったのは中の見え方だけです。
この4つを、上・下・左・右と呼び分けていきます。図では上と下を青、左と右をピンクで塗り分けています。
上の三角形AODは上底ADを、下の三角形COBは下底BCを、それぞれ底辺にしています。
左の三角形AOBと右の三角形DOCは、台形の斜めの辺を1つずつ持っています。
左と右をよく見ると、形はまったく似ていません。
両どなりの2つは、面積が同じになります
見た目はかなりちがうのに、左と右の面積は同じになります。この台形では、どちらも6cm²です。
左右対称な台形をたまたま選んだから、というわけでもありません。上の図のように左右の辺の傾きがちがっていても、この関係は成り立ちます。
なぜそうなるのかを、順番に見ていきます。
まず、底辺と高さが同じ三角形をさがします
4つの三角形からいったん離れて、大きな三角形を2つ取り出します。三角形ABCと三角形DBCです。
この2つは、底辺BCを共有しています。そして辺ADと辺BCが平行なので、頂点Aから底辺BCまでの高さも、頂点Dから底辺BCまでの高さも、どちらも5cmです。
底辺が同じで高さも同じなら、面積は等しくなります。実際にどちらも6×5÷2＝15cm²です。
頂点が平行線の上を動いても面積が変わらない話は、等積変形の記事で扱っています。
同じ部分を引くと、残りも同じになります
この2つの三角形は、真ん中あたりで重なっています。重なっている部分は、三角形OBCです。
三角形ABCから三角形OBCを取りのぞくと、残るのは左の三角形AOBです。
三角形DBCから同じ三角形OBCを取りのぞくと、残るのは右の三角形DOCです。
もとの大きさが同じで、取りのぞいたものも同じなら、残ったものも同じ大きさになります。
左と右の面積が等しいのは、この引き算の結果です。
ポイント
- 台形の対角線が作る両どなりの三角形は、形がちがっても面積が等しくなります。
- 理由は、底辺BCが共通で高さも等しい2つの三角形から、同じ三角形OBCを引いた残りだからです。
上と下の三角形は、拡大・縮小の関係になっています
残る上と下も見てみます。この2つは、大きさはちがうのに形がそっくりです。
辺ADと辺BCは平行なので、対角線ACがこの2本を横切ると錯角ができます。図の1本線の角がそれで、角OADと角OCBは等しくなります。
対角線BDも同じように2本の平行線を横切っているので、2本線の角、角ODAと角OBCも等しくなります。
角が2組そろえば、三角形の形は同じになります。上の三角形AODと下の三角形COBは、交点Oをはさんで向かい合うリボン型の相似です。
相似比が分かれば、面積の比も出せます
相似比は、上底と下底の比がそのまま使えます。この台形では4：6、約分して2：3です。
相似比が2：3なら面積の比は2×2：3×3で、4：9になります。
数字でも確かめられます。上と下の三角形は相似比が2：3なので、高さの比も2：3になります。台形の高さ5cmを2：3に分けると、上が2cm、下が3cmです。
上の三角形は4×2÷2＝4cm²、下の三角形は6×3÷2＝9cm²になります。
台形全体は（4＋6）×5÷2＝25cm²なので、残りの左と右を合わせると25－4－9＝12cm²。左と右は等しいので、それぞれ6cm²になります。
4つを並べると、上から4、6、6、9。両どなりの6が、上の4と下の9のあいだにきれいに入る形です。
ポイント
- 上と下の三角形はリボン型の相似で、相似比は上底：下底です。
- 面積の比は相似比を2回かけた形になり、2：3なら4：9です。
- 4つの面積は4：6：6：9で、両どなりが上と下のあいだの大きさになります。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、㋐の面積は何cm²ですか？
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答え：7cm²
底辺BCが共通で高さも等しいので、三角形ABCと三角形DBCの面積は等しくなります。そこから同じ三角形OBCを引いた残りどうしなので、左と右の面積も等しくなります。
【練習問題】②
下の図で、㋐の面積は何cm²ですか？
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答え：20cm²
上と下の三角形は相似で、相似比は上底：下底＝3：6＝1：2です。面積の比は相似比を2回かけた形になるので、1×1：2×2＝1：4。5cm²の4倍で20cm²です。
【練習問題】③
下の図で、台形全体の面積は50cm²です。㋐と㋑の面積はそれぞれ何cm²ですか？
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答え：㋐も㋑も12cm²
台形全体から上と下を引くと、50－8－18＝24cm²です。これが左と右を合わせた面積になります。左と右は面積が等しいので、24÷2＝12cm²ずつです。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図は、辺ADと辺BCが平行な台形ABCDに対角線ACとBDを引き、その交点をOとしたものです。三角形AODの面積は9cm²、三角形AOBの面積は12cm²です。
(1) ODとOBの長さの比を、いちばん簡単な整数の比で答えてください。
(2) 台形ABCDの面積は何cm²ですか？
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答え：(1) 3：4 (2) 49cm²
(1) 面積が分かっている2つの三角形は、どちらも頂点Aを持っています。
三角形AODの底辺ODと、三角形AOBの底辺OBは、同じ直線BDの上に並んでいます。頂点Aから直線BDまでの高さは、2つとも同じです。
高さが同じ三角形は、面積の比が底辺の比になるので、OD：OB＝9：12＝3：4です。
(2) (1)で出したOD：OBは、上の三角形AODと下の三角形COBの相似比にもなっています。
2つは交点Oをはさんだリボン型の相似で、頂点Aと頂点C、頂点Dと頂点Bがそれぞれ対応します。ODとOBは、対応する辺どうしです。
相似比が3：4なので、面積の比は3×3：4×4＝9：16です。上の三角形が9cm²なので、下の三角形は16cm²になります。
右の三角形DOCは、左の三角形AOBと面積が等しいので12cm²です。
4つを合わせると、9＋12＋12＋16＝49cm²です。
上と下をかけると9×16＝144、左と右をかけると12×12＝144で、向かい合う三角形の面積をかけると等しくなる関係とも合っています。
まとめ
台形に対角線を2本引くと、中が4つの三角形に分かれます。
両どなりの2つは、形がちがっても面積が同じです。底辺と高さが同じ三角形から、共通の部分を引いた残りどうしだからです。
上と下の2つはリボン型の相似で、相似比は上底と下底の比、面積の比はそれを2回かけた形になります。
対角線を引くだけで、平行線の性質と相似の性質が両方顔を出します。台形を見かけたら、線を2本引いて中をのぞいてみると面白いです。