形は同じで大きさだけが違う「相似」の関係
三角形の形は変えずに、全体の大きさを2倍に変えた図を考えます。
辺の長さは2倍に変化していますが、それぞれの角の大きさは一切変わっていません。
このように、形が同じで大きさだけが異なる図形の関係を「相似（そうじ）」と呼びます。
このとき、図形の広さ（面積）にはどのような変化が起きているのでしょうか。
計算と図形の分割、2つの方法で確かめてみます。
長さが2倍になると面積はどうなるか
まず、面積を計算してみます。
底辺が2cm、高さが2cmの三角形の面積は「底辺×高さ÷2」なので、2 × 2 ÷ 2 ＝ 2 です。
この長さをそれぞれ2倍にして、底辺4cm、高さ4cmにすると、面積は 4 × 4 ÷ 2 ＝ 8 になります。
長さは2倍ですが、面積はちょうど4倍に増えています。
底辺が2倍、高さも2倍になれば、掛け算の仕組みから全体の広さは 2 × 2 ＝ 4倍 になります。
大きな図解の中に隠れている形
計算以外の方法でも、この「4倍」を確かめることができます。
辺の長さを2倍にした大きな三角形の中に、もとの小さな三角形がいくつ入るかを調べてみましょう。
図のように、各辺のちょうど真ん中の点（中点）同士を結んでみると、まったく同じ形の三角形が4つぴったり収まることがわかります。
さらに、長さを3倍に広げた場合はどうでしょうか。
各辺を3等分する点同士を結んで確認します。
今度は、もとの三角形が9つ分集まっていることが数えて確認できますね。
面積が 3 × 3 ＝ 9倍 になることが、図でも納得できます。
ポイント
- 相似比が2倍なら、面積は4倍（2×2）になります。
- 相似比が3倍なら、面積は9倍（3×3）になります。
どんな形の三角形でも成り立つ「きまり」
この面積の変化は、直角二等辺三角形のような整った形だけで起こるわけではありません。
どのような形の三角形でも、2倍に拡大したものであれば、中点同士を結ぶことで4つの同じパーツに分解できます。
相似比を2回かけた分だけ、中に入るパーツの数（面積）が決まります。
この関係は、三角形以外の図形の相似でも同じように成り立ちます。
練習問題
【練習問題】①
ある三角形を、形は変えずに辺の長さをすべて2倍に拡大しました。拡大したあとの三角形の面積は、もとの三角形の何倍になりますか？
【練習問題】②
形が同じで大きさだけがちがう2つの三角形があります。大きいほうの面積は、小さいほうの9倍です。大きいほうの辺の長さは、小さいほうの何倍ですか？
タップで答えを見る
答え：3倍
辺の長さを何倍かにすると、面積はその数を2回かけた分だけ大きくなります。9倍になるのは3×3＝9のときなので、辺の長さは3倍になっています。
【練習問題】③
面積が5cm²の三角形があります。この三角形を、形は変えずに辺の長さをすべて2倍に拡大すると、面積は何cm²になりますか？
タップで答えを見る
答え：20cm²
辺の長さを2倍にすると、面積は2×2＝4倍になります。もとの面積が5cm²なので、5×4＝20で、20cm²になります。
まとめ
相似比が2倍になれば、面積は4倍になります。
図解の中に「同じ形がパーツとしていくつ収まるか」という形で確認できるルールです。
公式として覚えるだけでなく、図の中に隠れた小さな三角形の数をイメージしてみると、算数のつながりが少し見えやすくなるかもしれません。