拡大・縮小の関係にある三角形の角度と辺の比の性質｜小学生の算数【図形】

三角形の形を保ったまま大きくした図形を考えます

左側にある三角形ABCを、形を崩さないように注意しながら大きくした状態を考えます。

右側にある三角形DEFを並べて、2つの図形をじっくりと比べます。

大きさは違いますが、どちらも同じ形をしているように見えます。

このように、拡大や縮小の関係にある図形を「相似（そうじ）」と呼びます。

2つの三角形の角を、分度器を使ってそれぞれ測ります。

三角形DEFは全体が大きくなっていますが、角の開き具合を比べると、対応する場所の角度はまったく同じになります。

画像にある同じ印がついた角（角Aと角D、角Bと角E、角Cと角F）は、それぞれ大きさが等しくなります。

形が同じであるということは、角の開き方が同じであるということです。角の組み合わせが変わらないため、全体の形も同じになります。

どれだけ大きくしても、3つの角の大きさは変わりません。

次に、対応する辺の長さをそれぞれ測って比べます。

底辺である辺AB（3cm）と辺DE（6cm）を比べると、ちょうど2倍の長さになっています。

他の辺も同じように、すべて同じ倍率で伸びています。

一部の辺だけを伸ばすと形がゆがんでしまいますが、すべての辺を同じ比率で伸ばすと、形を保ったまま大きさを変えることができます。

角度を保ち、辺を同じ比率で伸ばすことで、同じ形になります。

2つの三角形が「同じ形（相似）」だと言い切るためには、3つの決まりのうちどれか1つを満たしている必要があります。

1つ目は、3組の辺の比がすべて等しいときです。

今回の図では、辺ABとDE、辺BCとEF、辺ACとDFのすべてが「1：2」の比率になっています。

すべての辺が同じ比率で伸びているので、この条件にあてはまります。

2つ目は、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいときです。

たとえば、辺AC(4cm)が辺DF(8cm)へと2倍になり、辺BC(2cm)が辺EF(4cm)へと2倍になっているとします。

このとき、その間にある「角C」と「角F」の大きさが同じなら、三角形の形は1つに決まります。

形が決まるため、残りの辺ABとDEも同じ比率になります。

3つ目は、2組の角がそれぞれ等しいときです。

三角形の内角の和は180度なので、角Aと角D、角Bと角Eのように、2つの角が決まれば、残りの1つも自動的に決まります。角の大きさがすべて揃うことで、必ず同じ形になります。

これらの条件を使うことで、図形が正確に拡大・縮小されているかどうかを判断できます。

今回の納得ポイント

2つの三角形を比べることで、相似な図形のルールを考えました。

角度は変わらず、辺の長さだけが一定の比率で変わることで、形が保たれます。

この性質を知っておくと、図形の一部が分からなくても、比率を使って全体の長さを計算できるようになります。

たとえば、遠くにあって直接測れないものの長さも、相似を使えば求めることができます。

形を保ったまま大きさを変える仕組みは、角度と辺の比率の組み合わせで成り立っています。