平行四辺形の向かい合う辺と角が同じになる理由
2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形を、平行四辺形と呼びます。
図の状態では、辺ABと辺DC、辺ADと辺BCがそれぞれ平行に向かい合っています。
各辺の長さや角度はまだ分かっていませんが、平行という関係は固定されています。
平行四辺形には、向かい合う辺の長さが等しく、向かい合う角の大きさも等しくなるという性質があります。なぜそうなるのか、その仕組みを見ていきます。
対角線で2つの三角形に分ける
決まっているのは「平行」ということだけです。それなのに、向かい合う辺の長さまで同じと言えるのか、というのがここでの問いです。
図の?の部分は、まだ長さを測っていません。測らずに等しいと言い切るには、平行という条件だけを手がかりにして確かめる必要があります。
そこで、頂点Aと頂点Cを結ぶ対角線を引いてみます。
こうすると、1つの平行四辺形の中に「三角形ABC」と「三角形CDA」の2つの三角形が現れます。この2つの三角形の関係を見ていくと、辺と角のきまりが自然と見えてきます。
2つの三角形は合同になる
辺ABと辺DCは平行なので、対角線を横切る錯角は同じ大きさになります。図の水色の角の組です。
同じように、辺ADと辺BCも平行なので、オレンジ色の角の組も同じ大きさになります。
そして対角線ACは、2つの三角形が共通して持っている辺です。長さをそろえたわけではなく、同じ1本の線をどちらの三角形も使っています。
対角線ACという共通の辺があり、その両端の角もそれぞれ等しいので、この2つの三角形は合同（形も大きさもぴったり同じ）といえます。
（なぜ「合同」と言い切れる？三角形がピッタリ重なる3つの条件）
合同であることが分かれば、辺と角の両方が一度に確かめられます。
向かい合う「辺」が同じ理由
合同とは、図形を移動させたり回転させたりしたときにぴったり重なる状態のことです。
2つの三角形は、平行四辺形の中では向きが逆になっています。そこで片方を切り離して180度回し、同じ向きにそろえて並べたのが上の図です。
こうして見比べると、1本の印を付けた辺どうし、2本の印を付けた辺どうしが、それぞれ同じ長さになっています。赤い辺は、どちらの三角形も共通して使っている対角線ACです。
向かい合う辺（ABとDC、ADとBC）が必ず同じ長さになるのは、このためです。
向かい合う「角」が同じ理由
同じように、角度にも注目してみます。
まず角Bと角Dです。三角形ABCの角Bと、三角形CDAの角Dは、合同な三角形の対応する角どうしなので、同じ大きさになります。
では角Aと角Cはどうでしょうか。
対角線ACによって、角Aと角Cはそれぞれ2つの角に分かれています。角Aは「オレンジ色の角＋水色の角」、角Cも「同じ大きさのオレンジ色の角＋水色の角」でできています。
同じ大きさの角を組み合わせているので、合計した角Aと角Cも等しくなります。
ポイント
- 対角線で分けた2つの三角形が合同であることを利用します。
- 合同な三角形の対応する辺と角は、すべて等しくなります。
- 角Aと角Cは、同じ大きさの角（錯角）を合わせたものなので等しくなります。
練習問題
【練習問題】①
下の図の平行四辺形で、辺㋐の長さは何cmですか？
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答え：7cm
向かい合う辺の長さは等しいので、辺㋐も7cmです。
【練習問題】②
下の図の平行四辺形で、角㋐の大きさは何度ですか？
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答え：75度
向かい合う角の大きさは等しいので、角㋐も75度です。
【練習問題】③
下の図の平行四辺形で、辺㋐の長さは何cmで、角㋑の大きさは何度ですか？
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答え：辺㋐は5cm、角㋑は65度
向かい合う辺の長さは等しいので辺㋐は5cm、向かい合う角の大きさも等しいので角㋑は65度です。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図の平行四辺形ABCDで、角Aを2等分した直線が辺BCと交わる点をEとしています。
(1) 辺BEの長さは何cmですか。
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答え：5cm
手がかりは、角Aが2つに分けられているところです。角BAEと角EADは同じ大きさになっています。
辺ADと辺BCは平行なので、この2本を直線AEが横切ってできる錯角が等しくなります。角EADと角AEBのペアです。
角BAEは角EADと同じ、角EADは角AEBと同じなので、角BAEと角AEBも同じ大きさになります。
三角形ABEを見ると、角BAEと角AEBの2つの角が等しくなっています。二等辺三角形では底の2つの角が等しくなりますが、これは逆向きにも使えて、2つの角が等しければその三角形は二等辺三角形です。
角BAEと向かい合う辺は辺BE、角AEBと向かい合う辺は辺BAです。この2つが同じ長さになるので、辺ABが5cmなら辺BEも5cmです。
(2) 辺ECの長さは何cmですか。
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答え：3cm
先に、辺BC全体の長さを出します。
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、辺BCは辺ADと同じ8cmです。
点Eは辺BCの上にあるので、辺BEと辺ECを合わせると辺BCになります。
(1)で辺BEが5cmと分かっているので、8－5で辺ECは3cmです。
まとめ
平行四辺形の向かい合う辺と角が等しくなるのは、どちらも「2つの合同な三角形」が隠れているからです。
「平行」というきまりがあるから錯角が等しくなり、対角線で分けた2つの三角形が合同になります。その結果として、向かい合う辺の長さと角の大きさが、それぞれ等しいことが分かります。
対角線の性質をさらに見ていくと、2本の対角線が真ん中で交わることも確かめられます。向かい合う辺が等しいことは、平行四辺形の面積が「底辺×高さ」で求められる話にもつながっていきます。