平行四辺形の向かい合う辺と角が同じになる理由
2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形を、平行四辺形と呼びます。
図の状態では、辺ABと辺DC、辺ADと辺BCがそれぞれ平行に向かい合っています。
各辺の長さや角度はまだ分かっていませんが、平行という関係は固定されています。
平行四辺形には、向かい合う辺の長さが等しく、向かい合う角の大きさも等しくなるという性質があります。なぜそうなるのか、その仕組みを見ていきます。
対角線で2つの三角形に分ける
平行四辺形の性質を確かめるために、頂点Aと頂点Cを結ぶ対角線を引いてみます。
こうすると、1つの平行四辺形の中に「三角形ABC」と「三角形CDA」の2つの三角形が現れます。この2つの三角形の関係を見ていくと、辺と角のきまりが自然と見えてきます。
2つの三角形は合同になる
辺ABと辺DCは平行なので、対角線を横切る錯角は同じ大きさになります。
同様に、辺ADと辺BCも平行なので、もう一方の錯角（水色）の組も同じ大きさです。
そして対角線ACは、2つの三角形に共通している辺です。
共通の辺があり、その両端の2組の角がそれぞれ等しいので、この2つの三角形は合同（ぴったり同じ形）といえます。
（なぜ「合同」と言い切れる？三角形がピッタリ重なる3つの条件）
合同であることが分かれば、辺と角の両方が一度に証明できます。
向かい合う「辺」が同じ理由
合同とは、図形を移動させたり回転させたりしたときにぴったり重なる状態のことです。
2つの三角形を切り離して一方を回転させると、対応する辺同士が完全に一致します。だから、向かい合う辺（ABとDC、ADとBC）は必ず同じ長さになります。
向かい合う「角」が同じ理由
同じように、角度に注目してみます。
まず角Bと角Dは、合同な三角形の対応する角なので、当然同じ大きさです。
では角Aと角Cはどうでしょうか。
対角線ACによって、角Aと角Cはそれぞれ2つの角に分かれています。角Aは「オレンジ色の角＋水色の角」、角Cも「同じ大きさのオレンジ色の角＋水色の角」でできています。
同じパーツを合わせているので、合計した角Aと角Cの大きさも必ず等しくなります。
ポイント
- 対角線で分けた2つの三角形が合同であることを利用する
- 合同な三角形の対応する辺と角は、すべて等しくなる
- 角Aと角Cは、同じ大きさの角（錯角）を合体させているから等しくなる
まとめ
平行四辺形の向かい合う辺と角が等しくなるのは、どちらも「2つの合同な三角形」が隠れているからです。
「平行」というきまりがあるだけで、角の大きさが決まり、三角形が合同になり、その結果として辺の長さや角度まで同じになる。すべてがつながっているのが、平行四辺形のおもしろいところです。