平行四辺形の対角線が「真ん中」で交わる理由
平行四辺形には、向かい合う辺や角が等しいという性質のほかに、もう1つ不思議な性質があります。
それは「対角線」に関するものです。
図のような平行四辺形ABCDがあります。
ここに頂点AとC、BとDを結ぶ2本の対角線を引いてみます。
すると、2本の線はちょうど真ん中の点（交点Oとします）で交わるのです。
「ちょうど真ん中」ということは、「AOとCOの長さは同じ」「BOとDOの長さも同じ」になるということ。
なぜそんなことが言えるのか、「平行」と「合同」の知識を使って考えてみます。
交点Oを囲む「小さな三角形」に注目！
2本の対角線を引いた図を、もう一度よく見てください。
交点Oのまわりに、4つの小さな三角形ができましたね。そのうち、上下に向かい合っている三角形OABと三角形OCDに注目してみましょう。
この2つの三角形がぴったり重なる（合同である）ことが証明できれば、対角線のナゾも解けそうです。
錯角と、「ある事実」で納得
まず、角度に注目します。
辺ABと辺DCは平行なので、対角線を横切る「錯角」は同じ大きさになります。
（グレーで塗りつぶした、角OABと角OCD、角OBAと角ODCのペアです）
これで「2組の角」が等しいことがわかりました。
ここでもう1つ、「平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい」という性質を使ってみます。
すると、辺ABと辺DCの長さは等しいことがわかります。
整理すると、三角形OABと三角形OCDにおいて
- 1組の辺（ABとDC）が等しい
- その両端の角（錯角のペア）がそれぞれ等しい
「1組の辺」と、その辺の両端にある「2組の角」がそれぞれ等しいことになり、この2つの三角形は合同です。
（なぜ「合同」と言い切れる？三角形がピッタリ重なる3つの条件）
取り出して、重ねてみると……
頭の中だけで考えるのが難しいときは、この2つの三角形を外に取り出してみましょう。
一方の三角形を180度くるっと回転させてみると、辺の長さも両端の角度もぴったり一致することがわかります。
「形も大きさも全く同じ」ということが、よりはっきりしますね。
対応する辺だから、同じ長さになる
2つの三角形が合同ということは、ぴったり一致します。
合同な三角形の、対応する辺（重なり合う辺）に注目してください。
- AOとCOはぴったり重なるので、同じ長さです。
- BOとDOはぴったり重なるので、同じ長さです。
「長さが同じ」ということは、交点Oはそれぞれの対角線（ACとBD）のちょうど真ん中にあるということです。
このことから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わることが納得できます。
ポイント
- 対角線で分かれた上下（または左右）の小さな三角形に注目する
- 錯角と「向かい合う辺が等しい」ことから、2つの三角形は合同になる
- 合同な三角形の対応する辺（AOとCO、BOとDO）の長さは必ず等しくなる
まとめ
最初はただの「交わった線」に見えていた対角線も、三角形に分けて考えることで「なぜ真ん中で交わるのか」が見えてきます。
図形では、すでに知っている性質を組み合わせると、新しい性質がすっと理解できるところが面白いですよね。