平行四辺形の対角線が「真ん中」で交わる理由
平行四辺形には、向かい合う辺や角が等しいという性質のほかに、もう1つ不思議な性質があります。
それは「対角線」に関するものです。
図のような平行四辺形ABCDがあります。
ここに頂点AとC、BとDを結ぶ2本の対角線を引いてみます。
すると、2本の線はちょうど真ん中の点で交わります。この点をOとします。
「ちょうど真ん中」ということは、「OAとOCの長さは同じ」「OBとODの長さも同じ」になるということ。
なぜそんなことが言えるのか、「平行」と「合同」の知識を使って考えてみます。
交点Oを囲む「小さな三角形」に注目
2本の対角線を引いた図を、もう一度よく見てください。
交点Oのまわりに、4つの小さな三角形ができましたね。そのうち、上下に向かい合っている三角形ABOと三角形CDOに注目してみましょう。
この2つの三角形がぴったり重なる（合同である）ことが証明できれば、対角線のナゾも解けそうです。
錯角と「向かい合う辺が等しい」で合同になる
まず、角度に注目します。
辺ABと辺DCは平行なので、対角線を横切る「錯角」は同じ大きさになります。
グレーで示した角OABと角OCD、角OBAと角ODCが、それぞれ錯角のペアです。
これで「2組の角」が等しいことがわかりました。
ここでもう1つ、「平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい」という性質を使ってみます。
（平行四辺形の向かい合う辺と角が等しくなる理由）
すると、辺ABと辺DCの長さは等しいことがわかります。
整理すると、三角形ABOと三角形CDOにおいて
- 1組の辺（辺ABと辺DC）が等しい
- その両端の角（錯角のペア）がそれぞれ等しい
「1組の辺」と、その辺の両端にある「2組の角」がそれぞれ等しいことになり、この2つの三角形は合同です。
（なぜ「合同」と言い切れる？三角形がピッタリ重なる3つの条件）
取り出して、重ねてみる
頭の中だけで考えるのが難しいときは、この2つの三角形を外に取り出してみましょう。
一方の三角形を180度くるっと回転させてみると、辺の長さも両端の角度もぴったり一致することがわかります。
「形も大きさも全く同じ」ということが、よりはっきりしますね。
対応する辺だから、同じ長さになる
2つの三角形は合同なので、重ねるとぴったり一致します。
合同な三角形の、対応する辺（重なり合う辺）に注目してください。
- OAとOCはぴったり重なるので、同じ長さです。
- OBとODはぴったり重なるので、同じ長さです。
「長さが同じ」ということは、交点Oは対角線ACの真ん中にも、対角線BDの真ん中にもあるということです。
このことから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わることが納得できます。
ここで分かったのは、対角線ACが点Oで半分に分かれること、対角線BDも点Oで半分に分かれること、の2つです。
出てきた式はOA＝OCとOB＝ODで、対角線ACと対角線BDを並べてくらべたことは一度もありません。この2本の長さがそろっているかどうかは、ここまでの話からは何も言えないままです。
上の図を見ても、2本の対角線は長さがそろっていません。すると交点Oから頂点までのきょりも、対角線ACの半分と対角線BDの半分の2種類に分かれます。4本ともそろうのは、角が直角にそろった長方形のときです。長方形の対角線は真ん中で交わるうえに長さも等しくなるので、交点から4つの頂点までが全部同じになります。
ポイント
- 対角線で分かれた上下（または左右）の小さな三角形に注目する
- 錯角と「向かい合う辺が等しい」ことから、2つの三角形は合同になる
- 合同な三角形の対応する辺（OAとOC、OBとOD）の長さは必ず等しくなる
- ここで分かるのは、それぞれの対角線が半分に分かれることだけ。2本の対角線の長さがそろうかどうかは別の話になる
練習問題
【練習問題】①
下の図の平行四辺形で、㋐の長さは何cmですか。
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答え：5cm
平行四辺形の対角線は、それぞれの真ん中（中点）で交わります。
交点Oは対角線ACの中点なので、OA（5cm）とOC（㋐）の長さは同じです。
OAが5cmなので、㋐も5cmになります。
【練習問題】②
下の図の平行四辺形で、対角線ACの長さは14cm、対角線BDの長さは10cmです。㋐と㋑の長さはそれぞれ何cmですか。
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答え：㋐＝7cm、㋑＝5cm
交点Oは、対角線ACと対角線BDのどちらの中点にもなっています。
㋐（OA）は対角線ACのちょうど半分なので、14÷2で7cmです。
㋑（OB）は対角線BDの半分なので、10÷2で5cmです。
㋐と㋑がちがう長さになっているとおり、交点から頂点までのきょりは2種類に分かれます。
【練習問題】③
平行四辺形の対角線が真ん中で交わる（OA＝OC、OB＝ODになる）ことは、交点のまわりにできる2つの三角形が合同であることから説明できます。
この2つの三角形が合同だと言えるのは、どんなことが等しいからですか。
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答え：1組の辺と、その両端にある2組の角がそれぞれ等しいからです。
向かい合う2つの三角形では、平行四辺形の向かい合う辺ABと辺DCの長さが等しくなります。
さらに辺ABと辺DCが平行なので、対角線を横切ってできる錯角が2組とも等しくなります。
1組の辺と、その両端の2組の角がそれぞれ等しいことから、三角形がピッタリ重なる合同の条件を満たします。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図の平行四辺形ABCDで、対角線の交点Oを通る直線を引き、辺ABとの交点をP、辺DCとの交点をQとしました。平行四辺形ABCDの面積は48cm²です。
(1) ㋐の長さは何cmですか。
(2) 直線PQで分かれた2つの部分の面積は、それぞれ何cm²ですか。
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答え：(1) 3cm (2) どちらも24cm²
(1)について
まず見るのは、交点Oのまわりにできた三角形APOと三角形CQOです。直線PQがOを通っているので、この2つはOをはさんで向かい合っています。
この2つの三角形では、次の3つが等しくなっています。
1組の辺OA・OCと、その両端にある2組の角がそれぞれ等しいので、三角形APOと三角形CQOは合同になります。
合同な三角形の対応する辺なので、APとCQは同じ長さです。APが3cmなので、㋐も3cmになります。
ここで使った3つは、Pをどこに取っても成り立ちます。Oを通る直線でありさえすれば、APとCQはいつも同じ長さになります。
(2)について
こんどは対角線ACに注目して、三角形ACDと四角形APQDをくらべます。
対角線ACは平行四辺形を合同な2つの三角形に分けるので、三角形ACDの面積は48÷2で24cm²です。
四角形APQDと三角形ACDのちがいは2か所だけです。四角形APQDのほうにだけある部分が三角形APO、三角形ACDのほうにだけある部分が三角形OQCです。
この2つは(1)で合同と分かった三角形なので、面積も同じです。増えた分と減った分が同じなので、四角形APQDの面積も24cm²のままになります。
残りの部分は48－24で24cm²です。
Pの位置を変えても同じことが起きるので、交点Oを通る直線を引けば、平行四辺形の面積はいつも半分に分かれます。
まとめ
最初はただの「交わった線」に見えていた対角線も、三角形に分けて考えることで「なぜ真ん中で交わるのか」が見えてきます。
ただし、ここで分かるのは「半分に分かれる」ところまでです。2本の対角線の長さがそろうかどうかは、また別の合同を持ち出して調べることになります。
図形では、すでに知っている性質を組み合わせると、新しい性質がすっと理解できるところが面白いですよね。