ひし形の対角線はなぜ垂直に交わる？図解で分かる「直角」の理由
こちらの図を見てください。
4つの辺の長さがすべて等しい四角形を、「ひし形」と呼びます。
ひし形は、角度を変えて細長くしたり横に広げたりできますが、「4つの辺が等しい」という条件だけは変わりません。
そして、この条件を守ると、中心で交わる2本の対角線には、ある決まった性質が現れます。それが、
「対角線は垂直（90度）に交わる」
という性質です。なぜ、辺の長さをそろえただけで、ぴったり直角になるのでしょうか。
対角線でできる三角形に注目する
まずは、対角線によって分けられた三角形を見てみます。
ひし形は平行四辺形の仲間なので、「対角線は、それぞれ真ん中で交わる」という性質があります。
🖇平行四辺形の対角線が「真ん中」で交わる理由
対角線ACとBDが交わる点をOとすると、BDはちょうど半分に分けられるため、BO＝DOになります。
ここで、△ABO と △ADO を比べてみましょう。
- ひし形なので、4つの辺はすべて等しい（AB＝AD）
- 対角線は真ん中で交わる（BO＝DO）
- AOは2つの三角形で共通している
3つの辺の長さがそれぞれ同じなので、この2つの三角形はピッタリ重なる「合同な三角形」です。
🖇なぜ「合同」と言い切れる？三角形がピッタリ重なる3つの条件
180度を同じ大きさで分ける
合同な三角形では、対応する角の大きさも同じになります。つまり、対角線ACのまわりにできる2つの角は、同じ大きさです。
対角線BDは一直線なので、その上の角度を合わせると180度になります。その180度を「同じ大きさの角2つ」で分けているので、
180度 ÷ 2 ＝ 90度
対角線はちょうど直角で交わることになります。
「辺の長さが等しい」という条件が、合同な三角形をつくり、その結果として直角が生まれる、という流れです。
ポイント
- ひし形は、4つの辺の長さがすべて等しい。
- 対角線で分けると、合同な三角形ができる。
- 一直線の180度を同じ大きさで分けるため、対角線は90度で交わる。
まとめ
ひし形の対角線が垂直に交わるのは、「4つの辺が等しい」という条件によって内部に合同な三角形ができるからです。
その合同な三角形が一直線の180度をちょうど半分に分けることで、対角線は90度で交わります。