なぜひし形の面積は「対角線×対角線÷2」なの？図解で納得する公式の理由
ひし形の面積を求めるとき、「対角線×対角線÷2」という公式を使いますよね。
公式は覚えていても、「どうして最後に2で割るの？」と聞かれると少し迷うかもしれません。
ひし形の外側に長方形を描いてみると、その理由がすっきり見えてきます。
ひし形を「長方形」で包んでみる
まず、ひし形の4つの頂点にぴったりくっつくような長方形を描いてみます。
ひし形を長方形の中に収めて、その面積から考えてみます。この点線の長方形に注目するのが、公式を理解するポイントです。
ひし形は長方形の「半分」の広さ
長方形の中を見ると、2本の対角線で区切られた「4つの小さな部屋」があります。
この小さな部屋は、ひとつひとつが小さな長方形になっています。
そして、ひし形の辺をよく見ると、その小さな長方形を「角から角へ」横切る対角線になっています。
長方形を対角線で2つに分けると、ぴったり同じ大きさの三角形が2つできますよね。
つまりどの部屋でも、「ひし形の部分」と「外側の余白」は、同じ三角形どうしでできています。
- ひし形の辺が、その部屋（小さな長方形）の対角線になっています。
- △・□・☆のマーク：どの部屋でも「ひし形と余白」が同じ面積のペアになっています。
対角線が長方形を半分に分けるので、どの部屋でもひし形は「部屋のちょうど半分」を占めています。
部屋ごとに半分なら、全体で見ても「ひし形は長方形のちょうど半分の面積」ということになります。
「対角線」は長方形の「たて・よこ」と同じ
「ひし形が長方形の半分」だと分かったところで、長さの関係を確かめてみます。
外側の長方形の4つの辺は、ひし形の4つの頂点を通るように引かれています。
そのため、長方形のよこの長さは、ひし形の横の対角線とぴったり同じになります。
同じように、長方形のたての長さは、ひし形の縦の対角線とぴったり同じです。
ここが分かると、公式の言葉とつながります。
つまり、「対角線 × 対角線」という計算は、ひし形を包んでいる「外側の長方形の面積」を求めていたことになります。
なぜ「÷2」が必要なのか
「対角線 × 対角線」で長方形の面積を出し、「÷2」して中身のひし形だけを取り出す。これがひし形の面積公式の仕組みです。
ポイント
- 「対角線×対角線」は、外側の大きな長方形の面積を表しています。
- ひし形はその長方形の中に、余白と同じ広さだけきっちり収まっています。
- だから、長方形の面積を半分（÷2）にすれば、ひし形の面積が出ます。
- 公式が「横の対角線 × 縦の対角線 ÷ 2」になるのは、このためです。
練習問題
【練習問題】①
下の図で、対角線ACの長さは6cm、対角線DBの長さは8cmです。このひし形の面積は何cm²ですか？
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答え：24cm²
ひし形の面積は「対角線×対角線÷2」で求められます。6×8÷2＝24で、24cm²になります。
【練習問題】②
下の図のひし形で、対角線DBの長さは10cm、面積は30cm²です。対角線ACの長さは何cmですか？
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答え：6cm
面積は「対角線×対角線÷2」なので、10×（ACの長さ）÷2＝30という関係になります。10×（ACの長さ）は60なので、ACの長さは6cmです。
【練習問題】③
下の図のように、ひし形の4つの頂点にぴったり接する長方形があります。長方形の面積が48cm²のとき、ひし形の面積は何cm²ですか？
タップで答えを見る
答え：24cm²
ひし形は、外側の長方形のちょうど半分の広さに収まっています。長方形の面積が48cm²なので、その半分の48÷2＝24で、24cm²になります。
まとめ
「対角線×対角線÷2」という公式は、長方形の面積を半分にするところからきていました。
今回分かったことを整理すると、次の3つになります。
- 「対角線×対角線」は、ひし形を包む長方形の面積を表しています。
- ひし形は、その長方形のちょうど半分の広さに収まっています。
- だから、長方形の面積を半分にする「÷2」が必要になります。
公式の形だけを覚えるより、この流れを思い出せると忘れにくくなりそうです。
三角形の面積公式でも「÷2」が出てきますが、あちらも大きな図形の半分として面積を求めていて、考え方が共通しています。