動く点が作る三角形の面積はなぜグラフで折れ曲がる？
長方形ABCD（AB＝6cm、BC＝4cm）があります。
点PがBを出発して、B→C→D→Aの順に辺の上を動きます。
点Pが動くと、三角形ABPの形が変わっていきます。
でも、底辺ABの長さは、Pがどこにいても6cmのまま変わりません。
この三角形の面積がどう変わるかをグラフにしてみると、グラフの線が途中で折れ曲がるポイントが出てきます。
なぜそこで折れるのか、Pが通る辺ごとに区間を分けて整理してみます。
3つの区間で面積の変わり方が違う
PがBからAに到着するまでの道のりは、BC＋CD＋DA＝4＋6＋4＝14cmです。
この道のりを、Pが通る辺ごとに3つの区間に分けて見ていきます。
区間1：PがBC上にいるとき（0〜4cm）
三角形ABPの底辺はABで、長さは6cmです。
高さは、Pから底辺ABまでの垂直な距離になります。PがBC上にいるとき、この高さはBPの長さです。
PがBを出発してCへ向かうにつれて、BPの長さは0cmから4cmへ増えていきます。
底辺が同じで高さだけが増えるので、面積＝底辺×高さ÷2も一緒に増えていきます。
PがCに到着したとき（高さ＝4cm）、面積は6×4÷2＝12cm²です。
区間2：PがCD上にいるとき（4〜10cm）
PがCD上を動くと、三角形ABPの形はかなり変わります。
でも、Pから底辺ABまでの高さはどこにいても4cmのままです。
CDはABと平行な辺（上辺）なので、Pがどの位置にいても、ABまでの垂直な距離は長方形の高さ（＝BC＝4cm）で固定されます。
底辺も高さも変わらないので、面積は12cm²のまま一定です。
三角形の形が大きく変わっているのに面積が同じままというのは、等積変形の考え方と同じ仕組みです。
区間3：PがDA上にいるとき（10〜14cm）
PがDからAへ向かうと、高さは4cmからどんどん減っていきます。
底辺が同じで高さだけが減るので、面積も減っていきます。
PがAに到着すると高さは0cmになり、三角形はつぶれて面積も0cm²になります。
区間1の逆の動きです。
グラフが折れ曲がるのは「高さの変わり方」が切り替わるから
3つの区間での面積の変化をグラフにすると、次のようになります。
グラフは3本の直線がつながった折れ線になっています。
折れ曲がっているのは2か所。Pが頂点Cを通過するとき（移動距離4cm）と、頂点Dを通過するとき（移動距離10cm）です。
なぜここで折れるのか。
三角形ABPの面積は底辺×高さ÷2で決まります。底辺ABは常に6cmなので、面積の変化を左右しているのは高さだけです。
区間1では、高さが一定のペースで増えます。なのでグラフは右上がりの直線になります。
区間2では、高さが4cmで固定されています。だからグラフは水平な直線です。
区間3では、高さが一定のペースで減るので、グラフは右下がりの直線になります。
それぞれの区間ではグラフはまっすぐ進んでいます。折れ曲がりが起きるのは、区間が切り替わるポイントです。
PがCを通過すると、「高さが増える辺（BC）」から「高さが変わらない辺（CD）」へ移ります。
PがDを通過すると、「高さが変わらない辺（CD）」から「高さが減る辺（DA）」へ移ります。
Pが頂点を通るたびに、高さの変わり方が切り替わる。なのでグラフもそこで折れ曲がります。
ポイント
- 底辺ABが変わらないので、面積を決めているのは高さだけです。
- Pがどの辺の上にいるかで、高さの変わり方が「増える」「変わらない」「減る」に分かれます。
- グラフが折れ曲がるのは、Pが頂点を通過して「高さの変わり方」が切り替わるタイミングです。
練習問題
【練習問題】①
この記事と同じ長方形ABCD（AB＝6cm、BC＝4cm）で、点PがBから2cm動いたとき、三角形ABPの面積は何cm²ですか？
【練習問題】②
この記事と同じ長方形ABCDで、点PがBから7cm動いたとき、三角形ABPの面積は何cm²ですか？
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答え：12cm²
BC＝4cmなので、7cm動いた地点ではBCを通り過ぎてCD上にいます（Cから3cmの位置）。CD上ではPから底辺ABまでの高さが4cmで変わらないので、面積は6×4÷2＝12cm²になります。
【練習問題】③
下の図のように、AB＝8cm、BC＝3cmの長方形ABCDで、点PがBからC→D→Aの順に辺の上を動きます。面積のグラフが折れ曲がるのは、Pが何cm動いたときですか？また、三角形ABPの面積が最も大きいときの面積は何cm²ですか？
タップで答えを見る
答え：3cmと11cmで折れ曲がります。最大面積は12cm²です。
1回目の折れ曲がりは、PがCに到着するときです。BC＝3cmなので、Bから3cm動いた地点になります。
2回目の折れ曲がりは、PがDに到着するときです。BC＋CD＝3＋8＝11cmなので、Bから11cm動いた地点です。
面積が最も大きくなるのはCD上にいるときで、底辺AB×高さBC÷2＝8×3÷2＝12cm²になります。
まとめ
点Pが長方形の辺の上を動くとき、三角形ABPの底辺ABは常に同じなので、面積を決めているのは高さだけです。
高さの変わり方は、Pがどの辺にいるかで「増える」「変わらない」「減る」の3パターンに分かれます。
グラフが折れ曲がるのは、Pが頂点を通過するタイミングです。
そこで高さの変わり方が切り替わるから、グラフの傾きも切り替わります。
グラフの形が気になったら、まずPがどの辺の上にいるかを見て、高さがどう変わるかを追いかけていくと整理しやすいです。