おうぎ形の面積と弧の長さは「円全体のうちの割合」で決まる
おうぎ形は、円を中心から出た2本の半径で切り取った一部の形です。
中心の角（中心角）を大きくすると、切り取られるおうぎ形も大きくなります。
逆に中心角を小さくすると、おうぎ形も小さくなります。
でも、切り取るもとの円そのものは変わっていません。
いつも同じ円の一部を、中心角の大きさで取り分けているだけです。
だから、おうぎ形の面積も弧の長さも、「円まるごとのうちの何分の1か」という割合で考えられます。
おうぎ形は円の「何分の1」？ 中心角÷360が割合になる仕組み
円をまるごと1周ぶんの角度は360°です。
おうぎ形の中心角が90°なら、360°のうちの90°ぶん、つまり円の4分の1です。
中心角が180°なら円の2分の1、120°なら3分の1になります。
上の図で、塗った部分の大きさが中心角に合わせて変わっているのが見えます。
このとき使っているのが「中心角÷360」という計算です。
90÷360＝4分の1、180÷360＝2分の1というように、中心角を360でわると、そのおうぎ形が円全体のどれくらいの割合になるかが出ます。
大きな数どうしのわり算に見えますが、約分すると4分の1のような簡単な割合になります。
この割合さえ分かれば、あとは面積も弧の長さも同じように求められます。
面積は「円の面積 × 割合」で出せる
はじめに、おうぎ形のもとになっている円まるごとの面積を出します。
円の面積は半径×半径×3.14で求められます。
半径が6cmなら、6×6×3.14＝113.04cm²です。
このおうぎ形の中心角は90°なので、円の4分の1でした。
だから面積は、113.04×（90÷360）＝113.04×4分の1＝28.26cm²になります。
円まるごとの面積を先に出して、そこに割合をかける、という2つの手順だけで済みます。
弧の長さは「円周 × 同じ割合」で出せる
弧は、おうぎ形のふちにあるカーブした部分の長さです。
このカーブは、もとの円の円周の一部です。
円周は直径×3.14で求められます。
半径6cmの円は直径が12cmなので、円周は12×3.14＝37.68cmです。
中心角90°は円の4分の1なので、弧の長さも円周の4分の1になります。
37.68×（90÷360）＝37.68×4分の1＝9.42cmです。
面積のときと同じ4分の1をかけているだけです。
面積も弧の長さも、どちらも円全体の一部です。
だから、円をどれだけの割合で取り分けたかが決まれば、面積も弧も同じ割合で求められます。
面積は円の面積に、弧は円周に、それぞれ同じ割合をかける。
おうぎ形の2つの公式は、この1つの考え方でそろっています。
ポイント
中心角÷360は、そのおうぎ形が円全体にしめる割合です。
おうぎ形の面積は「円の面積×割合」、弧の長さは「円周×割合」で、どちらも同じ割合をかけるだけで求められます。
練習問題
【練習問題】①
半径4cm、中心角90°のおうぎ形の面積は何cm²ですか？
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答え：12.56cm²
円まるごとの面積は4×4×3.14＝50.24cm²です。中心角90°は円の4分の1（90÷360）なので、50.24×4分の1＝12.56cm²になります。
【練習問題】②
半径9cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さは何cmですか？
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答え：18.84cm
円周は9×2×3.14＝56.52cmです。中心角120°は円の3分の1（120÷360）なので、56.52×3分の1＝18.84cmになります。
【練習問題】③
半径10cm、中心角72°のおうぎ形の、面積と弧の長さを求めましょう。
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答え：面積62.8cm²、弧12.56cm
中心角72°は円の5分の1（72÷360）です。面積は円の面積10×10×3.14＝314cm²の5分の1で、314×5分の1＝62.8cm²。弧は円周10×2×3.14＝62.8cmの5分の1で、62.8×5分の1＝12.56cmになります。どちらも同じ割合5分の1をかけています。
まとめ
おうぎ形の面積と弧の長さは、別々の公式として覚えなくても、円まるごとに同じ割合をかける、という1つの考え方でそろっていました。
その割合が中心角÷360です。
面積なら円の面積に、弧の長さなら円周に、その割合をかけるだけです。
おうぎ形の問題が出てきたら、まず中心角÷360で円の何分の1になるかを考えてみてください。
その割合が分かれば、面積も弧の長さも同じ考え方で求められます。