円周角と中心角のきまり
円の周上にある2つの点から、それぞれ直線を伸ばしてできる2種類の角について考えます。
直線を伸ばした先を、円の中心にするか、それとも円の周上にある別の点にするかによって、角ができる位置が大きく変わります。一方で、どちらの角であっても、円のふちにある同じ2つの点から直線が伸びている状態は変わりません。
このとき、円の中心にできる角を「中心角」、円の周上にできる角を「円周角」と呼びます。
同じ弧から作られる2つの角の名前と場所
まずは、それぞれの角が円のどこにできるのか、その位置関係を確認します。
同じ2つの点から出発していても、円の中心に向かって伸びる角（中心角）と、円の周上の点に向かって伸びる角（円周角）に分かれます。
中心角と円周角の大きさのきまり
次に、2つの角の大きさを比較してみます。
図を確認すると、中心角の大きさが80度のとき、円周角の大きさは40度になっています。
中心角の大きさを別の数値に変えた場合でも、円周角の大きさは常に中心角の半分（中心角は円周角の2倍）になります。
なぜ中心角は円周角の2倍になるのか？
「たまたまこの図が半分になっただけでは？」と思うかもしれません。そこで、点Pから中心Oを通る補助線を1本引いて、なぜ必ず2倍になるのかを確かめます。
円の半径にあたる3本の線（OB、OP、OA）の長さはすべて同じです。そのため、補助線の左右には2つの二等辺三角形が浮かび上がります。
二等辺三角形の底角（2つの同じ角）は等しいので、左側の角に「●」、右側の角に「×」の印をつけます。
ここで「三角形の外角のきまり（1つの外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しい）」を使います。すると、中心にある角の左側は●2つ分（●●）、右側は×2つ分（××）になります。
全体を比べると、円周角が「●＋×」であるのに対して、中心角は「●●＋××」となり、どんな形であっても必ずちょうど2倍の大きさになることが分かります。
なぜどこに移動しても角度が変わらないのか？
円周上にある点の位置を動かしたときの変化を考えてみます。
図の点Pと点Qのように、円の周上で角を作る位置を動かしても、角度はどちらも40度のままで変わりません。
点をどこへ動かしても、出発点となる2つの点が固定されている限り、作られる円周角はすべて「同じ中心角（80度）の半分」から計算されます。そのため、円の周上のどこに点を置いても、円周角の大きさは等しくなります。
ポイント
- 同じ2点から出発したとき、円周角の大きさは中心角のちょうど半分（中心角は円周角の2倍）になります。
- 出発する2点が同じであれば、円の周上のどこに角を作っても、円周角の大きさはすべて同じになります。
まとめ
円周角は中心角のちょうど半分になります。補助線を1本引いて「半径の長さがすべて同じ」という円の性質に注目すると、その理由が見えてきます。