4人から2人を選ぶとき、ABとBAは同じことになる
A・B・C・Dの4人の中から、2人を選びます。
Aを先に選んでからBを選ぶことも、Bを先に選んでからAを選ぶこともできます。
順番を変えると、1番目に選ばれた人と2番目に選ばれた人は入れかわります。
そのかわり、選ばれたのがAとBの2人であることは変わりません。
2人を選ぶだけなら、見るのはだれが選ばれたかだけです。この数え方だと何通りになるのかを見ていきます。
並べ方として数えると12通り
はじめに、選ぶ順番のちがいも別のものとして数えてみます。
1人目に選べるのは、A・B・C・Dの4人なので4通りです。
1人目にAを選んだとすると、2人目に選べるのは残りの3人なので3通りになります。
並べ方の数え方と同じで、使った人は次の候補から外れます。だから4×3で12通りです。
この12通りは、選んだ2人を左から並べた並べ方の数です。
書き出すと、同じペアが2回ずつ出てくる
12通りを実際に書き出してみます。
書き出すときは、樹形図のときと同じように、1人目をAから順に決めていくともれません。
並べると、ABとBAのように、同じ2人が2回ずつ入っていることが分かります。
ACとCA、BDとDBも同じです。枠で囲むと、枠は6つになりました。
2人を選ぶだけなら、答えは6通りです。12通りは、同じ選び方を2回ずつ数えた数です。
順番を考えずに、選ばれたメンバーだけを見る数え方を組み合わせといいます。
何でわればいいのか
12通りを6通りに直すには2でわります。この2がどこから来た数なのかを見ていきます。
2人の並べかえは2通りなので、2でわる
枠の中に入っていたのは、どれも2つずつでした。
AとBの2人であれば、並べ方はABとBAの2通りです。2人を並べる並べ方が2×1で2通りなので、どの枠も2つずつになります。
同じ選び方を2回ずつ数えていたので、12÷2で6通りになります。
わる数は、選んだ人数を並べたときの並べ方の数です。ここでは2人を選んだので、2でわりました。
3人を選ぶときは6でわる
こんどは、同じ4人の中から3人を選びます。
並べ方として数えると、1人目が4通り、2人目が3通り、3人目が2通りで、4×3×2の24通りです。
A・B・Cの3人が選ばれた場合を書き出すと、ABC・ACB・BAC・BCA・CAB・CBAの6通りになります。1人目が3通り、2人目は残り2人で2通り、3人目は残った1人だけなので、3×2×1で6通りです。
どの3人でも同じことが起きるので、24通りの中では、同じ選び方が6回ずつ数えられています。
24÷6で4通りです。実際に書き出しても、A・B・C／A・B・D／A・C・D／B・C・Dの4通りしかありません。
並べ方として数えてから、選んだ人数の並べ方の数でわる。2人でも3人でも、この形は変わりません。
選ぶのか、並べるのかの見分け方
同じ「4人から2人」でも、わる場合とわらない場合があります。分かれ目は、順番に意味があるかどうかです。
順番がちがったら別のものになるかどうかで決まる
5人の中から2人を選んで、1人を委員長、もう1人を副委員長にするとします。
このときは、AさんとBさんが入れかわると、委員長になる人が変わります。ちがう決め方なので、5×4の20通りをそのまま数えます。
同じ5人から当番を2人選ぶだけなら、入れかわっても選ばれた2人は同じです。20÷2で10通りになります。
かけ算で数えるところまでは、どちらも同じです。ちがうのは、そのあとわるかどうかだけです。
役や順番がついて、入れかわると別の決め方になるなら、わりません。集まったメンバーだけを見るなら、わります。
4人から3人を選ぶのは、外す1人を選ぶのと同じ
4人から3人を選ぶ選び方は4通りでしたが、この4という数は別のところからも出せます。
4人から3人が選ばれるということは、選ばれない人が1人だけいるということです。
選ぶ3人を決めれば外す1人も決まり、外す1人を決めれば選ぶ3人も決まります。
外す1人の選び方は、AからDの4通りです。だから3人の選び方も4通りになります。
選ぶ人数が多いときは、外す人数のほうが少なくて数えやすくなります。
ポイント
- 選び方は、並べ方として数えてから、同じものを何回数えたかでわって出します。
- わる数は、選んだ人数を並べたときの並べ方の数です。2人なら2、3人なら3×2×1で6になります。
- 4人から2人を選ぶと4×3÷2で6通り、3人を選ぶと4×3×2÷6で4通りです。
- 役や順番がつくならわらず、メンバーだけを見るならわります。
- 選ぶ人数が多いときは、外す人数を数えても同じ答えになります。
練習問題
【練習問題】①
5人の中から、当番を2人選びます。選び方は何通りありますか？
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答え：10通り
並べ方として数えると、1人目が5通り、2人目が残り4人で4通りなので、5×4で20通りです。
2人の並べ方は2通りなので、同じ選び方を2回ずつ数えています。20÷2で10通りになります。
【練習問題】②
6人の中から、当番を3人選びます。選び方は何通りありますか？
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答え：20通り
並べ方として数えると、6×5×4で120通りです。
3人の並べ方は3×2×1で6通りなので、同じ選び方を6回ずつ数えています。120÷6で20通りになります。
【練習問題】③
5人の中から2人を選び、1人を委員長、もう1人を副委員長にします。決め方は何通りありますか？
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答え：20通り
委員長になれるのは5人なので5通り、副委員長は残り4人で4通りです。5×4で20通りになります。
2人が入れかわると委員長になる人が変わるので、別の決め方です。①とちがって、ここではわりません。
発展問題
ここからは、この記事の考え方に、外す人を数える見方を足して解く問題です。答えを2通りの方法で確かめます。
【発展問題】①
6人の中から4人を選びます。
(1) 4人が選ばれたとき、選ばれない人は何人ですか？
(2) 選ぶ4人を決めるかわりに、外す2人を決めると考えると、選び方は何通りですか？
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答え：(1) 2人 (2) 15通り
(1) 6人のうち4人が選ばれるので、残るのは6－4で2人です。
(2) 選ぶ4人が決まれば外れる2人も決まり、外す2人が決まれば選ばれる4人も決まります。どちらを数えても同じ数になります。
外す2人の選び方は、並べ方として6×5で30通り、2人の並べ方が2通りなので、30÷2で15通りです。
選ぶ4人をそのまま数えると、6×5×4×3で360通り、4人の並べ方が4×3×2×1で24通りなので、360÷24で15通りになります。数える相手を変えても答えは同じです。
まとめ
選び方の数は、まず並べ方として数えて、そのあと同じものを何回数えたかでわると出せます。
4人から2人なら4×3÷2で6通り、4人から3人なら4×3×2÷6で4通りです。
わる数は毎回ちがう数のように見えますが、正体はいつも同じで、選んだ人数を並べたときの並べ方の数でした。
順番に意味があるかどうかを先に決めておくと、わるのかわらないのかで迷わなくなります。役や順番がつくならそのまま、メンバーだけを見るならわる、という分かれ方です。
外す人を数えるやり方も合わせると、同じ問題を2通りの道すじで確かめられます。