3人が横に並ぶと、並び方は何通りになるか
A・B・Cの3人が、左から1列に並びます。
並ぶ順番を変えると、左にいる人も、まん中にいる人も入れかわります。
そのかわり、並んでいるのが同じ3人であることは変わりません。人が増えたわけでも、減ったわけでもありません。
算数では、メンバーが同じでも順番がちがえば、別の並び方として数えます。この数え方で、3人の並び方が全部で何通りになるのかを見ていきます。
書き出すと6通りになる
数が少ないうちは、全部書き出すのがいちばん確実です。
順番に書き出すときは、まず左の席にだれが来るかを決めます。
樹形図を使うと、決めた順に枝が分かれていきます。
左の席がAのとき、まん中に来られるのはBかCの2人です。
まん中がBなら、右の席はCしか残っていません。まん中がCなら、右はBです。
Aから始まる並び方は、ABCとACBの2通りになります。
左がB、左がCのときも同じように2通りずつなので、全部で6通りです。
左の席から順に決めると、3×2×1になる
6通りという数は、書き出さなくても出せます。
さっきの樹形図では、席をひとつずつ決めていきました。そのときに何人から選べたかを、席ごとに数えてみます。
いちばん左の席に来られるのは、A・B・Cの3人です。ここは3通りあります。
左にAが座ったとすると、まん中に来られるのはBとCの2人です。ここは2通りです。
まん中がBに決まれば、右の席はCしか残っていません。ここは1通りです。
3通りの決め方それぞれに2通りずつ、さらにその一つひとつに1通りずつが続くので、3×2×1で6通りになります。
書き出して数えた6通りと、同じ数が出ました。
かける数が1ずつ減っていく理由
3×2×1という式で気になるのは、かける数が1ずつ小さくなっているところです。
これは決まりごととして覚える形になっていますが、理由があります。
一度使った人は、次の席にはもう選べない
減っているのは、席が右へ進んだからではありません。選べる人が使われて、いなくなっていくからです。
左の席にAが座った時点で、Aはもう次の席の候補ではなくなります。残っているのはBとCの2人だけです。
まん中にBが座れば、残りはCの1人です。
同じ人を2つの席に置くことはできないので、席をひとつ決めるたびに、候補が1人ずつ減っていきます。
だから3、2、1と1ずつ小さい数が並びます。
「たすのか、かけるのか」の記事とのちがい
かけ算で数えるところは、たすのかかけるのかを見分ける話と同じです。ちがうのは、かける数が減るかどうかです。
赤いカード3枚と青いカード2枚から1枚ずつ選ぶときは、3×2で6通りでした。
このとき、赤から1枚選んでも、青の枚数は2枚のままです。赤と青は別のグループなので、片方を使ってももう片方は減りません。
並べ方では、選ぶ相手がずっと同じ3人です。同じ3人の中から、同じ人を2回使わずに順番に選ぶので、使ったぶんだけ候補が減っていきます。
3×2になるか3×2×1になるかは、この「減るかどうか」で分かれます。
人数が増えても、決める席の数だけかける
同じ人を2回使わない並べ方なら、人数が変わっても同じやり方で数えられます。
4人を並べると4×3×2×1で24通り
4人が1列に並ぶときは、いちばん左が4通り、次が3通り、その次が2通り、最後は1通りです。
4×3×2×1で24通りになります。
3人のときの6通りとくらべると、1人増えただけで4倍です。
書き出して数えるのがつらくなってくるのは、このあたりからかもしれません。
全員を並べないときは、途中で止める
5人の中から3人を選んで、左から並べる場合を考えます。
左の席は5人から選べるので5通り、まん中は残り4人で4通り、右の席は残り3人で3通りです。
決める席は3つで終わりなので、そこでかけるのをやめます。5×4×3で60通りです。
残った2人がどうなるかは、この問題では関係ありません。
決める席の数だけ、1ずつ減らしながらかける。並べ方の数え方は、全員を並べるときも一部だけ並べるときも、この形で通せます。
ポイント
- メンバーが同じでも、順番がちがえば別の並び方として数えます。
- 3人の並べ方は3×2×1で6通りです。書き出した数と一致します。
- かける数が1ずつ減るのは、一度使った人が次の席の候補から外れるためです。
- 全員を並べないときは、決める席の数だけかけて止めます（5人から3人なら5×4×3）。
練習問題
【練習問題】①
4人が1列に並びます。並び方は何通りありますか？
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答え：24通り
左から順に決めていくと、いちばん左は4人から選べて4通りです。
次は残り3人で3通り、その次は2通り、最後は1人だけなので1通りになります。
4×3×2×1で24通りです。
【練習問題】②
5人の中から2人を選んで、左から並べます。並べ方は何通りありますか？
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答え：20通り
左の席は5人から選べて5通り、右の席は残った4人から選べて4通りです。
決める席は2つなので、そこでかけるのをやめます。5×4で20通りになります。
【練習問題】③
A・B・Cの3人が1列に並びます。いちばん左がAに決まっているとき、並び方は何通りありますか？
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答え：2通り
いちばん左は動かせないので、決めるのはまん中と右の2つの席です。
まん中に来られるのはBとCの2通り、右の席は残った1人なので1通りです。
2×1で2通りになります。
発展問題
ここからは、この記事の考え方に、ほかの見方を1つ足して解く問題です。手数が増えるので、順番に決めていくところは同じままにして進めます。
【発展問題】①
A・B・C・Dの4人が1列に並びます。AとBがとなり合う並び方は何通りありますか。
(1) AとBを1つのかたまりとみて、かたまり・C・Dの3つを並べる並べ方は何通りですか？
(2) (1)をもとにして、AとBがとなり合う並び方は全部で何通りですか？
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答え：(1) 6通り (2) 12通り
(1) となり合うという条件は、バラバラの4人として数えると確かめにくくなります。そこで、AとBをテープでつないで1つのかたまりとみます。
つないでしまえば、AとBは必ずとなり合います。並べるものは、かたまり・C・Dの3つです。
3つのものを並べるので、3×2×1で6通りになります。
(2) かたまりの中身も見てみると、左からABの順と、BAの順の2通りがあります。
かたまりの並べ方6通りそれぞれに、中の順番が2通りずつあるので、6×2で12通りです。
まとめ
並べ方の数は、席をひとつずつ決めていくと、かけ算で出せます。
3人なら3×2×1で6通り、4人なら4×3×2×1で24通りです。
かける数が1ずつ減るのは、席が進むからではなく、一度使った人がもう選べなくなるからでした。
同じ人を2回使えない、というだけの事情が、あの1ずつ減る式を作っています。
5人から3人だけ並べる場合のように、途中で止まる数え方も同じ形で通せます。決める席の数を数えて、そのぶんだけかければ答えが出ます。