カードを選ぶルールを変えると、答えの数が変わる
赤いカードが3枚と、青いカードが2枚あります。
この5枚から1枚だけ選ぶとき、選び方は5通りです。
同じ5枚で、今度は赤から1枚と青から1枚を選ぶことにすると、選び方は6通りになります。
カードの枚数は5枚のままで、増えても減ってもいません。変わったのは選び方のルールだけです。
それでも、出てくる数は3＋2の5と、3×2の6に分かれます。たし算になるときとかけ算になるときが、どこで分かれているのかを見ていきます。
どちらか1枚だけ選ぶときは、5通り
まず、5枚の中から1枚だけ選ぶ場合です。
選べるのは赤1・赤2・赤3・青1・青2の5枚なので、そのまま5通りになります。
書き出したものを見ると、赤を選んだ3通りと、青を選んだ2通りに分かれています。
3と2を足して5。こちらがたし算になる側です。
赤から1枚、青から1枚選ぶときは、6通り
次に、赤から1枚と青から1枚を選ぶ場合です。
赤1を選んだとき、青は青1と青2の2通りがあります。
赤2を選んだときも2通り、赤3を選んだときも2通りです。
2通りのまとまりが3つできるので、3×2で6通りになります。もれなく数えるときに使う樹形図の形が、そのまま出てきています。
たし算になるのは、選び方が2つに分かれているとき
同時には起きなくて、どちらかには必ず入る
1枚だけ選ぶ場合を、もう一度見ます。
選んだ1枚は、赤か青のどちらかです。赤でもあり青でもある、というカードはありません。
赤を選んだ3通りと、青を選んだ2通りは、重なっていないことになります。
そして、どの選び方も必ずどちらかに入ります。5枚の中に、赤でも青でもないカードがないからです。
重なりがなく、もれもない。この2つがそろっているので、3通りと2通りをそのまま足せます。
もし2つのグループに重なりがあると、足すだけでは合わなくなります。その場合の数え方は、ベン図で重なりを整理する集合算のほうで出てきます。
かけ算になるのは、両方を決めるとき
2通りのまとまりが3セットできる
赤から1枚、青から1枚を選ぶ場合は、事情がちがいます。
赤を1枚決めても、まだ青が決まっていません。選び方として、まだ完成していない状態です。
赤1に対して青が2通り、赤2に対しても2通り、赤3に対しても2通りあります。
かけ算の「1つ分がいくつ分あるか」という形で見ると、1つ分が2通りで、それが3つ分です。だから3×2＝6になります。
赤1・赤2・赤3のどれを選んでも、その先の青は同じ2通りずつです。枝分かれの本数がそろっているので、2通りを3つ分としてかけ算にまとめられます。
迷ったら「どちらか一方」か「両方そろえる」かを見る
2つの選び方を枝の形にして並べると、ちがいがはっきりします。
左は赤と青の枝が出発点から直接のびて、そこで終わっています。右は赤の枝の先から、さらに青の枝がのびています。
問題文を読むときに見るのは、選び終わったかどうかです。
1枚選んだ時点で終わりなら、選び方が分かれているだけなので、たし算になります。
1枚選んでもまだ決めることが残っているなら、その先で枝分かれするので、かけ算になります。
数える対象が増えても、この見方は変わりません。色が3種類になっても、選ぶ場所が3か所になっても、分かれているのか、続いているのかを見れば決められます。
ポイント
- 選び方が2つ以上に分かれていて、重なりもなく、もれもないときは、それぞれの数をたします。
- 「赤から1枚」「青から1枚」のように両方を決めるときは、それぞれの数をかけます。
- かけ算になるのは、1つ決めたあと、そのそれぞれから同じ数だけ枝分かれするからです。
- 見分けるところは、1枚選んで終わりか、まだ決めることが残っているかです。
練習問題
【練習問題】①
赤1〜赤4の赤いカード4枚と、青1〜青3の青いカード3枚があります。この中から1枚だけ選ぶとき、選び方は何通りですか。
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答え：7通り
選べるのは赤の4枚と青の3枚で、重なっているカードはありません。4＋3＝7通りになります。
【練習問題】②
同じ赤4枚・青3枚のカードから、赤を1枚と青を1枚選ぶとき、選び方は何通りですか。
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答え：12通り
赤の選び方1通りごとに、青が3通りあります。3通りのまとまりが4つできるので、4×3＝12通りです。
【練習問題】③
①はたし算、②はかけ算になりました。このちがいは、どこから出ていますか。
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答え：1枚選んで終わりか、そのあとにまだ選ぶかのちがいです
①は1枚選んだ時点で終わるので、赤の場合と青の場合が分かれているだけになります。②は赤を選んでも青が決まっていないので、赤の1通りごとに青の3通りへ枝分かれします。
発展問題
色が3種類になると、1つの問題の中にたし算とかけ算の両方が出てきます。どこが分かれていて、どこが続いているのかを見ながら進めてみてください。
【発展問題】①
赤1〜赤3の赤いカード3枚、青1・青2の青いカード2枚、黄1〜黄4の黄色いカード4枚があります。
(1) この中から1枚だけ選ぶとき、選び方は何通りですか。
(2) 赤・青・黄から1枚ずつ選ぶとき、選び方は何通りですか。
(3) 色のちがう2枚を選ぶとき、選び方は何通りですか。
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答え：(1) 9通り (2) 24通り (3) 26通り
(1) 1枚選んだ時点で終わりで、3つの色に重なりがありません。3＋2＋4＝9通りになります。
(2) 赤の3通りごとに青が2通りあり、その1つずつに黄が4通りあります。3×2×4＝24通りです。
(3) 色の組は、赤と青・赤と黄・青と黄の3つに分かれます。それぞれの組の選び方をかけ算で出すと、赤と青が3×2＝6通り、赤と黄が3×4＝12通り、青と黄が2×4＝8通りです。3つの組に重なりはないので、最後にそれらをたし算で合わせて、6＋12＋8＝26通りになります。
まとめ
たし算とかけ算のどちらを使うかは、カードの枚数ではなく、選び方の形で決まっていました。
分かれているだけならたし算、両方を決めるならかけ算です。かけ算にまとめられるのは、どの枝からも同じ数だけ枝分かれしているときになります。
発展問題の(3)のように、1つの問題の中で両方が出てくることもあります。その場合も、まず何と何が分かれているのかを見て、そのそれぞれの中でかけ算を使えば整理できます。
数え方に迷ったときは、樹形図に書き出して確かめるのがいちばん確実です。書き出せないほど数が増えたときは、最短経路の道順のように、数を書きこんで足していく方法もあります。