数字カードを並べて、3けたの整数を作る
1・2・3・4と書かれたカードが4枚あります。この中から3枚を選んで並べると、3けたの整数ができます。
1・2・3の順に並べれば123、順番を入れかえて1・3・2にすれば132です。並べ方を変えると、できる数も変わります。
一方で、変わらないこともあります。1枚使うたびに手元のカードが1枚ずつ減っていくところは、どの並べ方でも同じです。
このカードで、3けたの整数は全部で何通り作れるのでしょうか。
位ごとに順番に決めていく
数え方の基本は、百の位・十の位・一の位を順番に決めていくことです。
百の位に置けるのは、4枚のどれでもかまいません。ここは4通りです。
次に十の位を決めます。百の位で1枚使ったので、残りは3枚です。だから3通りになります。
一の位は、残った2枚から選ぶので2通りです。
これをかけて、4×3×2で24通りになります。
かけ算になるのは、百の位の決め方1通りごとに、十の位の決め方が3通りずつ枝分かれするからです。樹形図を描くと、枝が3本ずつに分かれていく形がそのまま見えます。
かける数が1ずつ減っていく並べ方の数え方と、同じ形になっています。
0のカードが入ると、同じ数え方ではうまくいかない
こんどはカードを0・1・2・3の4枚に入れかえます。枚数は変わらず4枚です。
それなら4×3×2で24通り、と言いたいところですが、そうはなりません。
0を百の位に置くと、3けたになっていない
0・1・2の3枚を選んで、0を百の位に置いてみます。
012という並びは、数としては12と同じです。3けたの整数を作るはずが、2けたの数になってしまいます。
同じ3枚でも、1・0・2の順に並べれば102で、3けたのままです。
つまり、百の位に0を置いた並びは、はじめから数える対象に入りません。
減るのは百の位だけ
百の位に置けるのは、0をのぞいた1・2・3の3通りです。
次は十の位です。ここには0を置けます。百の位で使わなかったカードが3枚残っていて、その中に0がふくまれているからです。だから3通りになります。
一の位は残り2枚から選ぶので2通りです。
3×3×2で18通りです。
24通りから18通りへ、6通り減りました。減ったのは、百の位が4通りから3通りになった分です。百の位の1通りぶんには、そこから先に3×2で6通りがぶら下がっていました。そのかたまりがまるごと消えたので、24−6で18になります。
「偶数だけ」を数えるときは、一の位から決める
この18通りの中には、偶数もあれば奇数もあります。
偶数だけを数えたいとき、百の位から順に決めていくと、あとで数え直すことになります。決める順番を変えたほうが早いです。
偶数になるかどうかは、一の位で決まる
ある数が偶数かどうかは、一の位を見れば判断できます。百の位や十の位がいくつであっても関係ありません。
0・1・2・3のカードのうち、一の位に置けるのは0か2です。
条件がついているのは一の位だけなので、そこを先に決めてしまいます。
一の位が0のときと2のときで、数がちがう
一の位を0にすると、残るのは1・2・3の3枚です。百の位はこの3枚のどれでもよいので3通り、十の位は残り2枚で2通り。3×2で6通りです。
一の位を2にすると、残るのは0・1・3の3枚です。ここで百の位に置けるのは1か3の2通りだけになります。十の位は残った2枚から選べるので2通りで、2×2で4通りです。
百の位が2通りに減ったのは、0を使い切ったからではありません。0は手元に残っています。先頭に置けないので、百の位の候補から外れるというだけです。0は十の位でならふつうに使えます。
6通りと4通りを合わせて10通りです。一の位が0の場合と2の場合は同時には起きないので、ここはかけるのではなく足します。
ちなみに、残りの8通りが奇数です。10と8で18通りになり、さっきの数と合います。
ポイント
- 3けたの整数は、百の位から順に決めて、選べる数をかけると出ます。
- 0を先頭に置いた並びは3けたの整数になっていないので、百の位だけ選べる数が1つ減ります。
- 十の位・一の位では0を使えます。減るのは百の位だけです。
- 偶数などの条件がついているときは、条件のある位から先に決めます。
- 場合を分けて数えたときは、最後にその数を足します。
練習問題
【練習問題】①
1・2・3・4・5の5枚のカードから3枚を選んで並べ、3けたの整数を作ります。何通りできますか？
タップで答えを見る
答え：60通り
百の位は5通り、十の位は残り4枚で4通り、一の位は残り3枚で3通りです。
5×4×3で60通りになります。
【練習問題】②
0・1・2・3・4の5枚のカードから3枚を選んで並べ、3けたの整数を作ります。何通りできますか？
タップで答えを見る
答え：48通り
百の位には0を置けないので、1・2・3・4の4通りです。
十の位は、百の位で使わなかった4枚から選べます。0もふくまれるので4通りです。一の位は残り3枚で3通りになります。
4×4×3で48通りです。
【練習問題】③
0・1・2・3の4枚のカードで3けたの奇数を作ります。何通りできますか？
タップで答えを見る
答え：8通り
奇数になるかどうかは一の位で決まるので、一の位に置けるのは1か3です。
一の位が1のとき、残るのは0・2・3で、百の位は0以外の2通り、十の位は2通りなので4通りです。
一の位が3のときも同じように4通りになります。合わせて8通りです。
本文の偶数10通りと合わせると18通りになり、3けたの整数の数と一致します。
発展問題
ここからは、何通りあるかではなく、小さいほうから何番目の数かをたずねる問題です。18個を全部書き出さなくても、答えを見つけられます。
【発展問題】①
0・1・2・3の4枚のカードで3けたの整数を作り、小さい順に並べます。
(1) 百の位が1になる整数は何個ありますか？
(2) 小さいほうから数えて10番目の整数は何ですか？
タップで答えを見る
答え：(1) 6個 (2) 213
(1) 百の位を1に決めると、残るのは0・2・3の3枚です。十の位は3通り、一の位は残り2枚で2通りなので、3×2で6個になります。
(2) まず、百の位が何になるかで区切って考えます。
百の位に置けるのは1・2・3で、どれに決めても(1)と同じように6個ずつできます。
小さい順に並べると、百の位が1の6個が1〜6番目、百の位が2の6個が7〜12番目、百の位が3の6個が13〜18番目です。10番目は、百の位が2のかたまりの中の4番目になります。
百の位が2のとき、残るのは0・1・3です。この3枚で十の位と一の位を作ると、小さい順に201・203・210・213・230・231となります。この4番目が213です。
かたまりで区切れるのは、百の位が1・2・3のどれであっても残りの枚数が同じで、できる個数も同じ6個になるからです。18個を全部書き出さなくても、10番目がどのかたまりに入るかだけ分かれば、あとはその6個を並べるだけで足ります。
まとめ
3けたの整数を数えるときは、位ごとに選べる数をかけていきます。1・2・3・4の4枚なら4×3×2で24通りです。
0が入ると、この形が少しくずれます。0を先頭に置いた並びは3けたの整数になっていないため、百の位だけ選べる数が減って18通りになります。十の位や一の位では0をふつうに使えるので、減るのは百の位だけです。
偶数だけを数えるときは、条件がついている一の位から決めます。一の位が0なら6通り、2なら4通りで、合わせて10通りでした。
条件がついているときは、その条件がある位から先に決めると数えやすくなります。0の扱いも、この順番で考えると混乱しにくくなります。