形は同じで大きさだけが違う「相似」の関係
三角形の形は変えずに、全体の大きさを2倍にした図を考えます。
辺の長さは2倍になっていますが、角の大きさはどれも変わっていません。
このように、形が同じで大きさだけがちがう図形の関係を「相似（そうじ）」と呼びます。何倍に拡大したかという倍率は相似比と呼ばれ、2倍に拡大したときの相似比は2です。
では、図形の広さ（面積）のほうはどうなっているのでしょう。
計算と図形の分割、2つの方法で確かめてみます。
長さが2倍になると面積はどうなるか
まず、面積を計算してみます。
底辺が2cm、高さが2cmの三角形の面積は「底辺×高さ÷2」なので、2 × 2 ÷ 2 ＝ 2 です。
この長さをそれぞれ2倍にして、底辺4cm、高さ4cmにすると、面積は 4 × 4 ÷ 2 ＝ 8 になります。
長さは2倍ですが、面積は4倍まで増えています。
底辺が2倍、高さも2倍になるので、かけ算の形で見ると広さは 2 × 2 ＝ 4倍 です。
たとえば底辺だけを2倍にして高さをそのままにすれば、面積は2倍にしかなりません。底辺と高さの両方が2倍になるので、4倍まで増えます。
大きな三角形の中に隠れている形
計算のほかにも、この「4倍」を確かめる方法があります。
2倍にした大きな三角形の中に、もとの小さな三角形がいくつ入るかを数えてみます。
各辺のちょうど真ん中の点（中点）どうしを結ぶと、もとの三角形と同じ大きさの三角形が①〜④の4つ、すきまなく収まります。
大きな三角形の辺は、もとの三角形の辺の2倍の長さです。中点で区切った1つ分がもとの三角形の辺と同じ長さになるので、分かれた4つはどれももとの三角形と同じ大きさになります。
さらに、長さを3倍にした場合も見てみます。
各辺を3等分する点どうしを結んで確認します。
今度は①〜⑨の9つ分が集まっています。
面積が 3 × 3 ＝ 9倍 になることが、図の上でも数えられます。
ポイント
- 辺の長さを2倍にする（相似比2）と、面積は4倍（2×2）になります。
- 辺の長さを3倍にする（相似比3）と、面積は9倍（3×3）になります。
どんな形の三角形でも成り立つ「きまり」
この面積の変化は、直角二等辺三角形のような整った形だけで起こるわけではありません。
どんな形の三角形でも、2倍に拡大したものなら、中点どうしを結ぶことで①〜④の4つの同じパーツに分けられます。
2倍・3倍のように整数倍に広げたときは、その数を2回かけた分だけ、中に入るパーツの数が決まります。
三角形以外でも同じです。たとえば長方形なら、たてを2倍、よこを2倍にすると 2 × 2 ＝ 4倍 になります。形を変えずに2倍へ拡大すると、たて方向にも横方向にも2倍ずつ広がるので、どんな図形でも面積は4倍になります。
練習問題
【練習問題】①
ある三角形を、形は変えずに辺の長さをすべて2倍に拡大しました。拡大したあとの三角形の面積は、もとの三角形の何倍になりますか？
【練習問題】②
形が同じで大きさだけがちがう2つの三角形があります。大きいほうの面積は、小さいほうの9倍です。大きいほうの辺の長さは、小さいほうの何倍ですか？
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答え：3倍
辺の長さを何倍かにすると、面積はその数を2回かけた分だけ大きくなります。9倍になるのは3×3＝9のときなので、辺の長さは3倍になっています。
【練習問題】③
面積が5cm²の三角形があります。この三角形を、形は変えずに辺の長さをすべて2倍に拡大すると、面積は何cm²になりますか？
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答え：20cm²
辺の長さを2倍にすると、面積は2×2＝4倍になります。もとの面積が5cm²なので、5×4＝20で、20cm²になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
下の図の三角形ABCで、DEとBCは平行です。三角形ABCの面積は45cm²です。
(1) 三角形ADEの面積は何cm²ですか。
(2) 台形DBCEの面積は何cm²ですか。
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答え：(1) 5cm² (2) 40cm²
まず、DEとBCが平行になっているところを見ます。平行な線があると、三角形ADEと三角形ABCは対応する角がどれも等しくなり、ピラミッド型の相似になります。
AD＝2cm、DB＝4cmなので、ABは2＋4＝6cmです。AD：AB＝2：6＝1：3なので、相似比は1：3です。
辺の長さが3倍になると面積は3×3＝9倍になるので、三角形ABCの面積は三角形ADEの9倍です。45÷9＝5で、三角形ADEは5cm²になります。
台形DBCEは、三角形ABCから三角形ADEを取りのぞいた残りの部分です。45－5＝40で、40cm²になります。
【発展問題】②
たて2cm、よこ3cm、高さ4cmの直方体があります。この直方体の形は変えずに、たて・よこ・高さのすべてを2倍にします。
(1) もとの直方体の体積は何cm³ですか。
(2) 2倍にしたあとの体積は、もとの体積の何倍ですか。
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答え：(1) 24cm³ (2) 8倍
まず、もとの直方体の体積を出します。体積は底面積×高さなので、底面積は2×3＝6cm²、これに高さ4cmをかけて6×4＝24cm³です。
2倍にしたあとは、たて4cm、よこ6cm、高さ8cmになります。4×6×8＝192cm³なので、192÷24＝8で、体積は8倍です。
平らな図形なら、たてとよこの2つの向きが2倍になるので2×2＝4倍です。立体には高さの向きも加わるので、2×2×2＝8倍になります。かける向きが1つ増えたぶん、増え方も大きくなります。
まとめ
辺の長さが2倍になれば、面積は4倍になります。
同じ形のパーツが中にいくつ収まるか、という数え方でも確かめられるきまりです。
公式として覚えるだけでなく、図の中に隠れている小さな三角形の数を思い浮かべてみると、算数のつながりが少し見えやすくなるかもしれません。