正方形の中にある葉っぱ型の面積
一辺の長さが10cmの正方形があります。この内部に、向かい合う頂点を中心として2本の弧を描くと、中央に葉っぱのような形が現れます。
弧の中心になるのは、左下の頂点と右上の頂点です。どちらの弧も、中心にした頂点のとなりにある2つの頂点をつなぐように描かれていて、半径は正方形の一辺と同じ10cmになります。
複雑な図形に見えますが、「扇形」と「三角形」に分けて考えると面積が求められます。
図形の成り立ちを分解して考える
まず、この葉っぱ型がどうできているのかを見てみます。
正方形の中には、半径10cmの扇形が2つ隠れています。
この2つの扇形を重ねると、中央に共通して重なっている部分ができます。
この重なった部分が、今回求めたい「葉っぱ型の面積」です。
扇形と三角形を組み合わせた解法
葉っぱ型そのものを直接求める公式はありません。そこで、葉っぱ型の半分に注目します。
1つの扇形に正方形の対角線を引くと、扇形が次の2つに分かれます。
- 直角二等辺三角形
- 葉っぱ型の半分
葉っぱ型の2つのとがった先は、どちらも正方形の頂点になっています。ここで引いた対角線は、その2つの頂点を結んだ線でもあります。
葉っぱ型は、この線をはさんで同じ形が向かい合うように作られています。だから対角線と弧に囲まれた部分が、ちょうど葉っぱ型の半分になります。
なので、扇形の面積 − 三角形の面積を計算すれば、葉っぱ型の半分が求められます。最後にそれを2倍すれば、葉っぱ型全体の面積になります。
ポイント
- 扇形の面積を求める
- 三角形の面積を求める
- 扇形 − 三角形を計算する
- 最後に2倍して全体を求める
実際に計算してみる
まず、半径10cm・中心角90°の扇形の面積を求めます。円周率は3.14として計算します。
扇形の面積は、半径×半径×3.14×（中心角÷360）で求められます。円の面積のうち、中心角が360°のうちどれだけを占めるかの分だけを取り出した形です。
今回の中心角は90°なので、10×10×3.14×（90÷360）となります。
90÷360＝1/4なので、
10×10×3.14÷4＝78.5
扇形の面積は78.5㎠です。
次に、直角二等辺三角形の面積を求めます。底辺も高さも正方形の一辺と同じ10cmです。
10×10÷2＝50
扇形から三角形を引くと、葉っぱ型の半分の面積になります。
78.5−50＝28.5
最後に2倍します。
28.5×2＝57
葉っぱ型全体の面積は57㎠です。
練習問題
【練習問題】①
一辺が6cmの正方形の中に、下の図のような葉っぱ型があります。この葉っぱ型の面積は何㎠ですか？
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答え：20.52㎠
扇形の面積は、円の面積（半径×半径×3.14）の4分の1なので、6×6×3.14÷4＝28.26㎠になります。
直角二等辺三角形の面積は、6×6÷2＝18㎠です。
扇形から三角形を引くと葉っぱ型の半分になるので、28.26−18＝10.26㎠です。
最後に2倍して、10.26×2＝20.52㎠になります。
【練習問題】②
一辺が10cmの正方形の中に葉っぱ型があります。下の図で、色のついた部分の面積は何㎠ですか？
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答え：43㎠
正方形の面積は、10×10＝100㎠です。
葉っぱ型の面積は本文と同じで、57㎠になります。
色のついた部分は、正方形から葉っぱ型を除いた残りです。
（正方形の面積）−（葉っぱ型の面積）＝（色のついた部分の面積）なので、100−57＝43㎠になります。
【練習問題】③
一辺が8cmの正方形の中に葉っぱ型があります。下の図で、葉っぱ型の面積と、色のついた部分の面積は、それぞれ何㎠ですか？
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答え：葉っぱ型は36.48㎠、色のついた部分は27.52㎠
半径8cm・中心角90°の扇形の面積は、8×8×3.14÷4＝50.24㎠です。
直角二等辺三角形の面積は、8×8÷2＝32㎠です。
扇形から三角形を引いて2倍すると、（50.24−32）×2＝36.48㎠で、これが葉っぱ型の面積になります。
正方形の面積は8×8＝64㎠です。
（正方形の面積）−（葉っぱ型の面積）＝（色のついた部分の面積）なので、64−36.48＝27.52㎠になります。
発展問題
ここからは、この記事の知識だけでは解けない、少し手数のかかる問題です。
【発展問題】①
一辺が20cmの正方形があります。4つの辺それぞれを直径として、正方形の内側に半円を4つ描くと、中央に花びらのような形が現れます。
(1) 花びら1枚の面積は何㎠ですか。
(2) 色のついた部分の面積は何㎠ですか。
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答え：(1) 57㎠ (2) 172㎠
まず見るのは、4つの半円の中心がどこにあるかです。どれも正方形の辺の真ん中にあるので、たてとよこを半分に区切る線を引いてみます。
すると、花びら1枚が一辺10cmの小さい正方形にちょうど収まります。
花びらのとがった先は、その小さい正方形の対角にある2つの頂点です。弧の中心も同じ正方形の頂点にあり、半径10cmは一辺の長さと同じになっています。
これは、一辺10cmの正方形の中にできる葉っぱ型と同じ形です。
なので、半径10cm・中心角90°のおうぎ形から直角二等辺三角形を引いて、2倍します。
10×10×3.14÷4＝78.5㎠
10×10÷2＝50㎠
78.5−50＝28.5㎠
28.5×2＝57㎠
これが(1)の答えになります。
(2)は、花びらが4枚あるので、57×4＝228㎠です。
正方形の面積は20×20＝400㎠なので、色のついた部分は400−228＝172㎠になります。
半円のつもりで描いた弧が四分円の弧として使えるのは、弧の中心が小さい正方形の頂点にあり、半径がその一辺と同じ長さだからです。
まとめ
葉っぱ型の面積も、「扇形」と「三角形」という基本図形に分けることで求められました。
直接求める公式がなくても、対角線を1本引いて半分に注目すると、知っている形の引き算にたどり着きます。
複雑そうに見える図形でも、どんな形の組み合わせなのかを考えると、意外とシンプルに解けることがあります。