正方形の中にある葉っぱ型の面積
一辺の長さが10cmの正方形があります。この内部に、向かい合う頂点を中心として2本の弧を描くと、中央に葉っぱのような形が現れます。
一見すると複雑な図形に見えますが、「扇形」と「三角形」に分けて考えることで面積を求めることができます。
図形の成り立ちを分解して考える
まずは、この葉っぱ型がどのようにできているのかを確認します。
図形をよく見ると、正方形の中には半径10cmの扇形が2つ隠れています。
この2つの扇形を重ねると、中央に共通して重なっている部分ができます。
この重なった部分が、今回求めたい「葉っぱ型の面積」です。
扇形と三角形を組み合わせた解法
葉っぱ型そのものを直接求める公式はありません。そこで、葉っぱ型の半分に注目して考えます。
1つの扇形に正方形の対角線を引くと、扇形が次の2つに分かれます。
- 直角二等辺三角形
- 葉っぱ型の半分
つまり、扇形の面積 − 三角形の面積を計算すれば、葉っぱ型の半分の面積が求められます。最後にそれを2倍すれば、葉っぱ型全体の面積になります。
ポイント
- 扇形の面積を求める
- 三角形の面積を求める
- 扇形 − 三角形を計算する
- 最後に2倍して全体を求める
実際に計算してみる
まず、半径10cm・中心角90°の扇形の面積を求めます。
扇形の面積は、半径×半径×3.14×（中心角÷360）で求められます。
今回の中心角は90°なので、10×10×3.14×（90÷360）となります。
90÷360＝1/4なので、
10×10×3.14÷4＝78.5
扇形の面積は78.5㎠です。
次に、直角二等辺三角形の面積を求めます。
10×10÷2＝50
扇形から三角形を引くと、葉っぱ型の半分の面積になります。
78.5−50＝28.5
最後に2倍します。
28.5×2＝57
葉っぱ型全体の面積は57㎠です。
まとめ
葉っぱ型の面積も、「扇形」と「三角形」という基本図形に分けることで求められました。
複雑そうに見える図形でも、どんな形の組み合わせなのかを考えると、意外とシンプルに解けることがあります。